让数学理性精神根植于儿童内心——＂2、3、5的倍数的特征＂巩固
【摘要】数学具有严谨的逻辑结构，是一门讲道理的学科，数学公式或定理的背后都有其科学的规定性。数学教育应促使学生通过数学学习学会思维，不仅让学生掌握基本知识，还应该让学生在自主探究的过程中，带着理性思考主动理解知识的本质之理，这也是数学教学对学生理性精神养成的价值之所在。
【关键词】说理 探究活动 理性精神
【教学内容】
人教版《数学》五年级下册第13页“你知道吗”。
【教学目标】
1.通过质疑——举例——说理——推理，探索解决“为什么判断2或5的倍数只要看个位数，而判断3的倍数要看各数位上数的和”这一问题，明白规律背后的道理。
2.在自主探究、小组合作、交流互动中，积累数学活动经验，发展推理能力，渗透抽象、推理、建模等数学思想。
3.激起对数学知识本质的探究欲望，感受数学学习的价值。
【教学过程】
一、回顾旧知，提出问题
师：我们已经学过2、3、5的倍数的特征，怎么判断一个数是不是5的倍数？
生：看它的个位上是不是0或5。
师：怎么判断一个数是不是3的倍数？
生：将所有数位上的数相加，看看和是不是3的倍数。
师：5的倍数只看个位数，3的倍数要看各数位上数的和。有困惑或新的问题产生吗？
生：为什么5的倍数只要看个位就行了，而3的倍数要看全部数位？
师：这个问题提得好吗？好在哪里？
生：他把3和5的倍数的判断方法作了比较。
师：今天的学习就从你们提出的问题开始。
（设计意图：“疑是思之始。”通过唤醒2、3、5的倍数的特征，引导学生在旧知中产生新的困惑，在质疑中学会追问数学知识深处的道理，培养学生的质疑精神。）
二、合作探究，明晰5、2的倍数特征之“理”
1.思考交流，寻求探究方法
出示：为什么判断一个数是不是5的倍数只要看个位，其他数位都不用看？
师：先独立思考，再同桌交流。
生：偶数个5相加个位是0，奇数个5相加个位是5，自然数能分成两类，一类是奇数，一类是偶数，所以5的倍数末尾一定是0或5。
生：我和我的同桌有一种想法，就是一个奇数乘5，它的个位一定是5；一个偶数乘5，它的个位一定是0。
生：或许是因为十位、百位、千位、万位等数位都是由个位进过来的，所以只需看个位。
师：“或许”是什么意思？
生：我也不知道这个想法对不对，只是可能性猜测。
师：虽然不确定，但勇于把自己的想法说出来，值得表扬！
生：我有补充，如果去掉个位的话，末尾就是0，末尾为0的数一定是5的倍数，所以只要看个位是不是5的倍数就行了。
师：谁听懂了他的想法？
生：他的意思是，不管多大的一个数，减去个位余下的数一定是整十数，再加个位上的5或者0，这样的数肯定是5的倍数。
（设计意图：尊重学生，给学生充足的时间和空间，让其借助已有的知识经验来说理，学生的认知会逐渐逼近知识背后的本质。）
2.借物析理，理解5的倍数特征
师：我们一起来理解他所说的。（在十位上写1，如下）这里的“1”是5的倍数吗？（是）“1” 怎么会是5的倍数呢？
生：因为这个“1”在十位上，代表10，10是5 的倍数。
（课件展示10个珠子5个5个地分，刚好分完）
师：（在计数器的十位上拨3）是不是5的倍数？（是）为什么？
生：因为它表示3个十，1个十是5的倍数，3个十也是5的倍数。
师：（将计数器藏在桌底下）我在十位上任意拨，还是不是5的倍数？（是）你们没看到，怎么还能肯定？
生：因为每个十都是由两个5组成的，无论几个十都是5的倍数。
师：我在百位上拨，还是5的倍数吗？（是）为什么？
生：100里面有10个十，它也是5的倍数，百位表示有几个百，不管几个百都是5的倍数。
师：猜猜接下来我会在哪一位上拨。
生：千位。
师：对不起，你们都猜错了。我为什么不 在千位上拨了？
生：因为千位跟百位、十位都一样。
师：（将计数器藏在桌底下）我在个位上拨，还是5的倍数吗？
生：不确定。
师：现在为什么不确定？
生：假如你拨了1个，就不是5的倍数；在个位拨5，才是5的倍数。
生：现在我明白为什么判断一个数是不是5的倍数只需看个位，其他数位不用看的道理了。
（设计意图：推理是重要的数学思想方法， 对小学生来说，演绎推理是比较难理解的。为了让学生准确把握“判断5的倍数只要看个位而其他数位不用看”的道理，教师巧借计数器，让学生关注数的位值制，在思考和辩论中明晰道理。）
3.类比迁移，联通2的倍数特征
师：想想看，谁和5的道理是一样的？
生：2。先看十位，10里面有5个2；再看百位，100里面有50个2；千位，1000里面有500 个2；个位的话，不拨或者拨2个、4个、6个、8 个才是2的倍数，其他都不是2的倍数。
生：我也认为是2。其他位不管是多少，都是整十、整百、整千，都是2的倍数，所以只要看个位就可以了。
（设计意图：数学活动经验的积累要在过程中实现，只有经历问题解决的过程，才能体会到数学思想的精髓。学生迁移已有的探究5的倍数特征的经验，借助举例、说理等方式，自主理解了2的倍数特征的道理。）
三、拓展延伸，理解3的倍数特征之“理”
1.交流反思，内化经验
师：5、2的道理都明白了，那么3呢？为什么不能只看个位？
生1：因为3的倍数的个位是不确定的，可能是0，也可能是1、2、3……所以不能只看个位，得总体来看。
师：为什么个位不确定？为什么要总体来看呢？
生2：因为十不能被3整除。
师：（对生1）他说的和你说的有什么不一样？
生1：他是从十的角度来考虑的，因为十可以组成百、千、万等。
师：他懂得从十考虑，你怎么没想到？
生1：大概是我没反应过来吧，没结合2和5的经验，所以我以后考虑问题要全面。
（设计意图：及时的反思能够促进学生经验的提升。让学生从过程中反思自己的优点和不足，学会鉴别和欣赏他人思考问题的独到之处，从而内化为自己的活动经验，促进理性思维。）
2.举例探究，层层析理
师：接下来聚焦今天的第二个问题，为什么判断一个数是不是3的倍数要看各数位上数的和？你们打算自己研究还是由老师告诉你们？
生：自己研究。
师：你准备怎么研究？
生：举例子，分一分……
师：取出探究单，先独立思考，再同桌商量，最后小组交换意见。
生：我举个例子，比如说12，我们先把10 拆分下来，用10除以3余下了1，这个1再与个位上的2合起来就是3，这个3可以被3整除，所以12是3的倍数。
师：一起来看，1加2的1表示什么？这个 1是哪里来的？
生：是10除以3之后余下来的1。12分成10和2，把10个珠子3个3个地分，余下1个。
师：为什么要加2？
生：因为可以转到个位上来。
生：因为个位上有个2，再加余下来的1，又可以凑起来。
师：那么，22我们怎么判断？
生：首先把22里的20分成两个10，一个10除以3后会余下一个1，余下的两个1加上个位的2等于4，4不能被3整除，所以22不是3 的倍数。
师：42呢？
生： 4个10就会余下4个1，加上个位上的2，等于6，6可以被3整除，所以42是3的倍数。
生：我想补充一下，4个10能分成4个9加4。9是能被3整除的，所以4乘9肯定能被3整除。余下来的4加上末位的2等于6，6也能被3整除。
师：我有一个疑问，1个10余1，2个10余 2，3个10会余3吗？这个3不是还可以分吗？
生：现在先不分，把它留到最后分。
师：所以你一直强调——
生：把它分成4个9余4。
师：通过刚才的讨论，我们又有了新的认识，要不要试个大一点的数？比如142，该怎么判断？
生：因为100除以3，除不尽，有余数——（停顿思考）
师：想一想，“142”里的这个1与底下的“1+4+2”的1一样吗？
生：不一样。
师：有什么不一样？
生：上面的1表示的是1个百，下面的1表示的是余下来的1。
生：1个百3个3个地分，分了99个，还余1个。
师：这里的4呢？
生：1个十3个3个地分，余1个，4个十就 余4。
师：那你明白1+4+2的道理了吗？
生：就是1个百3个3个分余1，4个十3个 3个分余4，把余下来的1、 4还有个位的2合起来再分，如果能分完就是3的倍数，如果不能分完就不是3的倍数。
3.抽象提升
师：（板书 -abc）怎么判断这个数是不是3 的倍数？
生：先算a除以3等于多少，看它余下来多少；再算b除以3等于多少，余下来多少；最后看c除以3等于多少，余下来多少。
生：这里的a表示的是a个百，3个3个分 余下来的就是a，b表示的是b个十，3个3个分余下来的就是b，把a+b+c的结果再3个3个分，就可以知道 -abc是不是3的倍数了。
（设计意图：学生理解5、2的倍数特征的道理后，在探究3的倍数特征时，已经有研究经验和研究方法做支撑，探究就变得有道可循了。但是，3的倍数特征的道理相对来说更难理解，为此在学生合作探究和互动交流中，教师要适时给予引导和追问，促使学生的思维走向深入，逐步明晰“为什么3的倍数要看各数 位上数的和”的道理。最后借助符号总结归纳，完成论证推理过程。）
四、回顾反思，总结收获
师：今天的数学课和平时有什么不一样？
生：以前的数学课上没彻底明白为什么是 这样，今天明白了。
生：我觉得平时上数学课，老师直接教我们方法，这节课我们是寻找为什么要这样做。刨根问底，总结方法。 ……
（设计意图：通过对这节课的回顾，让学生在总结中感悟数学学习需要追根究底，体会方法背后的道理；感受数学学习的本质，培养数学理性精神。）
【课后思考】
数学是一门逻辑性与思考性很强的学科， 数学课堂教学可以、也应该给学生呈现“讲理”的一面，以理性的力量去感染学生，引领学生在朴素的数学学习中，伴随着数学知识发生与发展的过程静心思考是什么、为什么这样、应该怎么做、 还可以怎么做。在一次次的数学思维活动中，引导学生深入数学的本质，将学习指向推理能力的发展，指向数学的精神、思想与方法的领悟。
1.质疑精神，从知识深处发现问题
2、5、3的倍数的特征是已经学过的知识， 学生将这些特征背得滚瓜烂熟，对为什么这样判断却知之甚少，也未曾想过去追问特征背后的道理。
课堂上，面对学生胸有成竹的回答，教师追问“关 于2、5、3的倍数的特征，你有新的问题吗”，促使学生重新审视已有的数学知识，引发质疑：“为什 么2或5的倍数只要看个位，3的倍数却要看各个数位？ ”让学生对已有的知识结论产生质疑，从知识深处发现问题，是培养学生理性精神的一个重要方面。学生提出问题后，教师追问：“这个问题好吗？好在哪里？ ”进一步明晰提出这个问题的价值所在，体会发现问题的重要性。
2.理性精神，在探究活动中深化
数学学习如果只是掌握了知识结论，没有掌握探索知识的方法和培养探究精神，那么充其量只是一种记忆和复制。因此，本节课的教学更多定位在过程性的目标上。在“为什么判断2或5的倍数只要看个位数，而判断3的倍数要看各位 上数的和”这一问题的引领下，学生不断叩问自己“该怎么去研究”。
由于演绎推理对小学生来说具有一定的难度，学生采用“质疑—举例—说理”的方法时，还无法准确表达自己的推理过程。此时，教师借助计数器和课件，让抽象的推理变为直观的演示，帮助学生深刻理解5的倍数特征的道理。
有了这个基础，在探究3的倍数特征的道理时，教师询问“是你们自己研究还是由老师告诉你们”，学生毫不犹豫地选择了自己探究，说明学生对探究数学知识之理产生了极大的兴趣。
学生通过独立思考、合作交流、举例分析等多种方式进行推理论证，逐步明晰判断3的倍数的方法所蕴含的道理，积累了探索这类数学问题的活动经验，也感受到数学理性精神的魅力。
郑毓信教授提出，数学课中我们所希望看到的是学生能养成一种新的精神，它并非与生俱来，而是后天养成的理性精神。数学教育主要应当促使学生更为积极地进行思考，并能通过数学学习学会思维，特别是能逐步学会想得更深、更合 理、更清晰、更全面。
数学学习不仅应该让学生掌握基本知识，还应该让学生在自主探究中带着 理性思考主动理解知识的本质之理，这也是数学教学对学生理性精神养成的价值之所在。
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