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“鸡兔同笼——用列表法解决问题”教学设计

发布时间:2016-12-05 13:18 点击数: 【字体:
【编者按】下面内容为湖南省2016年小学数学课堂教学竞赛(片段教学)教学设计、教学课件和现场实录。
 
“鸡兔同笼——用列表法解决问题”教学设计
 
湖南省益阳市桃江玉潭学校小学部  陈曙光
 
教学内容:
人教版四年级下册第9单元《数学广角》P103-107

教材分析:
“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题,最早出现在《孙子算经》中。教材在本单元安排“鸡兔同笼”问题,旨在对学生进行数学文化熏陶的同时,渗透数学思想、方法和策略。
“鸡兔同笼”的原题数据比较大,不利于首次接触该类问题的学生进行探究,因此教材先编排了例1,通过化繁为简,在引导学生探索解决问题方法的过程中,呈现了猜测、列表、假设等方法。
结合“鸡兔同笼”问题,教材在“做一做”和练习中安排了类似的一些习题,比如龟鹤同游、种树问题、租船问题、百僧食馍问题等,让学生进一步体会到这类问题在日常生活中的应用,引导学生灵活运用所学的方法解决此类问题。
“鸡兔同笼”向学生提供了现实、有趣、富有挑战性的学习素材,渗透了化繁为简、有序思考、“区间套”逐步逼近、数形结合、假设、建模等数学思想。根据以往的教学实践,如果将猜测、列表、假设等方法一一呈现并不可取,毕竟一节课的时间有限,而每种方法都有其思想内涵。要想让学生在短时间内全部吃透,更不现实。本节课的教学,拟以最原始但最具迁移能力的列表法为教学内容进行拓展延伸,让学生在自主、合作、探究式学习中,经历列表尝试和分析、调整的过程,从中体会解决问题的一般策略——列表(逐一列表法、跳跃列表法、折中列表法),从而积累解决问题的经验,掌握解决问题的方法,并把所学的数学知识应用到生活中去,用数学的眼光看待身边的事物,体会数学的价值。
理解和掌握列表法,并能灵活运用列表法解决问题,既是本节课的重点,也是难点。

学情分析:
“鸡兔同笼”问题生动有趣,容易激发学生的探究欲望。四年级孩子已经具备一定的合作学习的能力,完全可以通过小组合作,自主探究等方式探索出不同的方法。
列表法简明易懂,学生比较容易接受,但在列表的过程中需要方法技巧的引导和提升,让学生学会有策略地分析和调整,有利于以后与其他方法的融会贯通。

教学目标:
知识与技能:使学生学会用列表法解决“鸡兔同笼”问题,初步掌握解决此类问题的一般性策略。
过程与方法:通过自主探索、合作交流,让学生经历用各种列表的方法解决问题的过程,引导学生合理地根据列表的结果做出适当调整,积累解决问题的经验。
情感态度价值观:进一步培养学生有序思考的习惯。渗透数学文化,使学生感受数学思考在解决问题中的作用。

教学过程:
一、创设情境,揭示课题
1.谈话:
这节课,让我们穿越时空的隧道,回到一千五百年前。在数学名著《孙子算经》里,有这样一道题,请听题(录音读题)。
今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?

2.提问:
谁能说说这道题是什么意思吗? 

3.出示:
笼子里有若干只鸡和兔。从上面数,有35个头,从下面数,有94只脚,鸡和兔各有几只? 

4.分析:
这就是非常有名的数学趣题——“鸡兔同笼”问题(板书课题:鸡兔同笼)。学生齐声读题。从这道题里,你可以找到哪些数学信息?题中还有哪些隐藏的数学信息?

5.猜测:
请大家猜一猜,鸡和兔各有几只?

6.化繁为简:
这道题数据比较大,不好猜,也难猜准,怎么办呢?我们可以把题中的数据变小,从简单的问题入手。

7.出示例1:
笼子里有若干只鸡和兔,从上面数,有8个头,从下面数,有26只脚。鸡和兔各有几只?
要解答这道题,我们可以用多种方法。这节课我们重点来研究如何用 “列表法”解决这个问题(板书课题:列表法)。

设计意图:呈现情境图,借助古代数学问题让学生感知我国古代数学文化的源远流长,激发民族自豪感。通过对原题几次简单猜测,激发学生探究解决问题策略的欲望,同时体会从简单问题的入手的必要性,经历先用简单问题寻求解题策略后,再将其应用到解决比较复杂问题的过程,从而引导学生初步感受“化繁为简”的思想。

二、自主合作,探究方法 
(一)第一次列表尝试:
1.独立思考:
这道题你准备从哪里入手开始列表?鸡和兔共有8只,猜一猜,鸡和兔可能各有几只?

2.方法指导:
同学们,在猜测时怎样做到既不重复又不遗漏呢?
其实我们可以运用以前学过的“有序思考”方法,也就是把鸡和兔的只数按照一定的顺序列在表中,这样就更有条理了。

3.小组合作:
鸡和兔的只数有多种可能,要知道哪种猜测是正确的,该怎么办?
请同学们拿出学习卡(一),两人一组合作,把猜测的情况有序填入表中,再算一算脚的总只数,说一说哪种情况符合条件。

 
 
 
4.汇报交流:
哪个小组的同学愿意与大家交流一下你们的列表过程?
5.全班评讲:
这种列表方法有什么特点? 

6.小结方法:
这种列表方法虽然麻烦了一些,但是简单易懂。像这样,把鸡、兔共8个头的相关情况有序地列举出来的方法,我们给它取个名字,叫做“逐一列表法”(板贴)。逐一列表法不仅可以让我们有序思考,不重复、不遗漏,而且很方便记录计算的数据。

7.发现规律:
值得一提的是,在同学们创造的这两个表中,其实还蕴含着不少很有价值的数学信息。在鸡、兔总数不变的前提下,
(1)要使脚的总数增多,该怎么办?要使脚的总数减少呢?
 
 
(2)为什么增加一只鸡,减少一只兔,脚的总数就减少2?如果减少一只鸡,增加一只兔呢?
 
 
 
(3)以此类推,要减少4只脚,该怎么办?减少6只脚呢?如果要增加4只脚呢?增加8只脚呢?
 

 
(二)第二次列表尝试:
1.过渡:
假如笼子里鸡和兔的数据变大了(出示例2),
笼子里有若干只鸡和兔,从上面数,有20个头,从下面数,有56只脚。鸡和兔各有几只?
如果我们依然用“逐一列表法”解答,你认为怎么样?

2.独立思考:
我们能不能让列表的过程变得更简单呢?想一想,你有没有更好、更快的列表方法,能很快找到答案?

3.小组合作:
请同学们四人一组,在组内交流一下自己的想法,并填写学习卡(二)。

 
 
4.汇报交流:
(1)展示探究情况。
(2)你们小组是怎么列表的? 

5.全班评讲(预设):
(1)跳跃列表法:
a.展示:大家看看这个小组的同学是怎么列表的? 
b.思考:在什么情况下适合跳着列表呢?
c.小结:当数据离我们的目标相差很远时,我们就可以跳着去列表,让数据与目标逐步逼近(板贴)。那不怕把正确答案跳过了吗?跳过了怎么办?
通过跳着列表尝试(板贴:尝试),就能逐步缩小列举的范围,再加上我们正确的分析和适当的调整(板贴:分析、调整),可以让我们的方法更加简捷,列表次数更少。我们把这种列表的方法叫做跳跃列表法(板贴:跳跃列表法)。
哪个组还有更好、更快的列表方法?
(2)折中列表法:
a.你们组是怎么想的,为什么这么简单?
b.从中间数开始列表,得到脚的总数是60只后,你们是如何进行分析和调整的?
c.小结方法:通过取中间数列表,可以让我们的列表过程更加简单,解题越来越快捷。这种列表的方法叫做折中列表法(板贴:折中列表法)。
(3)拓展:如果假设全部是鸡,或全部是兔,你又该怎样进行分析或调整呢?
 
  
(三)总结拓展
同学们,在刚才的研究中,我们将复杂的问题简单化,并运用有序思考、逐步逼近的方法,将繁杂的列表过程简单化,这在数学上叫做“化繁为简”。
与此同时,我们通过大胆尝试、正确分析和适当调整,找出了不同的方法来解决问题。现在你们对列表法有哪些新的认识?
关于鸡兔同笼问题,还有不少相同类型的趣题,如“百僧食馍”以及从我国流传到日本的“龟鹤同游”,还有生活中的“租船问题”“乒乓球比赛问题”“车轮问题”等等。
至于鸡兔同笼的解法也有很多,古人用的是“抬脚法”。以后我们还将学习用“画图法”“假设法”“方程法”来解答,另外,美籍匈牙利数学家波利亚的“金鸡独立”,我国张景中院士的“鸡翅当腿”的精妙解法也非常有趣。有兴趣的同学,课后去了解了解吧,你一定会感受到数学的无穷魅力! 
这节课的学习就要接近尾声了,请同学们选用你喜欢的列表方法,来揭晓“鸡兔同笼”原题的答案吧!

设计意图:借助经典名题,根据学生呈现的探究结果,循序渐进地引导学生在“猜想—尝试—分析—调整”的过程中,不断生成更好、更快的列表方法。通过交流与思考,多角度感悟几种列表方法的不同特点,并能在解决问题的过程中灵活运用,潜移默化地渗透“区间套”逐步逼近、有序思考、化繁为简的思想,让学生在准确分析与适当调整中,体验到数学思考的价值,掌握灵活解题的策略。

三、组织练习,深化知识(以下练习为本节课剩余15分钟的内容)
选择你喜欢的列表方法解决以下问题:
1.你会做吗?
(1)笼子里有若干只鸡和兔。从上面数,有35个头,从下面数,有94只脚,鸡和兔各有几只?
(2)今年爸爸36岁,小强4岁。几年后,爸爸的年龄是小强的5倍?
2.你能做吗?
新星小学“环保卫士”小分队12人参加植树活动。男生每人栽了3棵树,女生每人栽了2棵树,一共栽了32棵树。男、女生各有几人?
3.你敢做吗?
一百个和尚吃100个馒头,大和尚一人吃3个,小和尚3人吃一个。大、小和尚各有多少人?(想一想,列表时小和尚的人数必须满足什么条件?你还能用别的方法解答吗?)

设计意图:四道练习题由易到难,让学生拾级而上,感受不同的列表策略的特点,从而提升学生的思维水平。同时习题层次分明,面向全体学生,让不同的学生得到不同的发展。

四、汇报收获,总结全课 
这节课你有哪些收获? 

板书设计:
      
 
 
 
 
 
 
 
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