＂鸽巢问题＂教学设计
教学内容：
人教版六年级下册P68-69页。
教学目标：
1.初步了解“鸽巢问题”，学会用操作枚举或假设的方法探究“抽屉原理”的一般规律，会用抽屉原理解决简单的实际问题。
2.经历从具体到抽象的探究过程，通过动手操作、分析、推理等活动，发现、归纳、总结原理。
3.体会数学知识在日常生活中的广泛应用，培养探究意识和能力。在灵活应用中感受数学的魅力，激发学习数学的兴趣。
教学重点：
抽屉原理的理解和应用。
教学难点：
找出实际问题与抽屉原理的内在联系，并对一些简单实际问题加以“模型化”。
教学准备：
课件、扑克牌、筷子、杯子。
教学过程：
一、激发兴趣，导入新课
1.魔术表演激趣
师：同学们，你们喜欢魔术吗？老师今天也想为大家表演一个魔术，想看吗？瞧，这是一副新扑克牌。现在，我取出其中的2张王牌和1张变牌。同学们，还剩多少张啊？现在，我想请1个同学上来参加这个表演，谁愿意？来，请你在这些牌中任意地取出5张，只让你自己看到。同学们，你们相信吗？他这5张牌中至少有2张是相同花色的。好，请亮牌。告诉大家，老师说的对吗？
2.导入新课
师：同学们，想知道老师为什么能做出如此准确的判断吗？
其实啊，这里面蕴藏着一个有趣的数学原理。想不想研究呢？
【设计意图】联系学生的生活体验，从学生感兴趣的扑克牌魔术入手，产生认知冲突，激发学生的探究欲望，让学生积极投入到对问题的研究中。
二、自主操作，探究新知
（一）研究筷子数比杯子数多1的现象
1.组织活动
（1）揭示研究内容
师：那我们今天呢，就用筷子和杯子来研究。现在要把4根筷子任意地放在3个杯子里，有几种不同的放法呢？请大家以学习小组为单位动手摆摆看，好吗？
（2）分组操作，思考放法
（3）汇报交流
师：谁能到前面来边摆边给大家说说你们的放法吗？这样，我们一起帮他记录，好吗？
师：你们真行，一下子就想到了四种不同的放法。还有不同的放法吗？
2.提出问题
师：好的，同学们，请注意观察黑板上呈现的4种情况，你发现了什么？
生：不管怎么放，总有一个杯子里有2根或超过2根以上的筷子。（板书：总有 ）
师：谁听懂了？
生：瞧，这里有4根，这里有3根，这里有2根，这里也有2根。在每一种放法中，总有一个杯子里有两根或超过了两根。
师：你们说，刚才这个同学的发现对不对呢？两根或两根以上，我们可以简单的说成是------至少2根。（板书：至少）
师：同学们，能把你们的发现完整地说说吗？
生：把4根筷子放到3个杯子里，不管怎么放，总有一个杯子里至少有2根筷子。
师：说的真好，既清楚，又简洁。
师：来，大家把这个发现一起大声地读读。
师：刚才，大家通过把所有的放法都一一列举出来，得到了这样的结论。
【设计意图】抽屉原理对于学生来说，比较抽象，特别是“总有一个杯子里至少有2根筷子”这句话的理解。所以让学生小组合作，通过具体的操作，列举所有的情况后，引导学生直接关注到每种分法中数量最多的杯子，理解“总有”、“至少有”。让学生初步经历“数学证明”的过程，训练学生的逻辑思维能力。
3.探究归纳，形成规律
师：那依此推想下去，把6根筷子任意地放到5个杯子里，你感觉会有什么结果？
师：还有不同的想法吗？大家的想法都一样，可是这个想法对不对呢？下面我们就来动手验证。
师：谁能说一说，你们是怎样验证的？好，这个小组。能不能给大家边摆边说？
生：我们先把所有的放法都摆出来，有……我们发现不管怎么放，总有一个杯子里至少有2根筷子。
生：这里有5个杯子，6根筷子。我们呢，先假设一下，如果5个杯子里面都放上一根的话，1，2，3，4，5，每个杯子里都放了一根，但还剩一根，无论这根筷子放到哪个杯子里，那个杯子里都将有2根筷子。也就是说，总有一个杯子里至少有2根筷子。所以我们证明了，无论怎么放，总有一个杯子里至少有2根筷子。
【设计意图】让学生感受到既可以直观操作，更可用假设法来思考，从中体会假设法的一般性和便捷性，发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。
师：通过实验，我们的这个想法对不对？同学们真了不起，这么快就证明了这个想法。同学们，这两种方法你们更喜欢哪一种？为什么？
生：这样操作更方便。
师：刚才这样分，是怎样分的呀？
生：平均分的。
师：那如果用算式，怎么来表示啊？
生：6÷5=1…1。
师：这里的商“1”表示的是什么呀？
生：每个杯子里都放进了一根筷子。
师：那这个余数“1”呢？
生：还剩的1根筷子。
师：剩余的这一根怎么办呢？
生：放入任意的一个杯子里
师：因此，不管怎么放，总有一个杯子里至少有2根筷子。那么，利用这种方法，把10根筷子放在9个杯子里，会怎样？
师：依据是什么？同意吗？
师：那把100根筷子放到99个杯子呢？
师：同学们这么快就得出了结论。你们是不是发现了什么规律？谁来说说？
生：只要筷子的根数比杯子的个数多1，就总有一个杯子里至少有2根筷子。
【设计意图】抓住假设法中最核心的思路，用“有余数的除法”形式表示出来，通过观察式子，发现求至少数的一般方法，使学生从本质上理解“抽屉原理”。
（二）研究筷子数比杯子数不止多1的现象
1.质疑引发学生自主提问
师：是这样的吗？哪些同学的发现和他一样？大家都发现了这样一个规律：当筷子数比杯子数多1时，总有一个杯子里至少有2根筷子。同学们，这个“2”是怎样得来的呀？
生：商加余数。 （板书：商+余数）
生：商加1。 （板书：商+1）
师：到底哪个对呢？
【设计意图】通过学生自主提问，充分发挥学生的主观能动性，培养学生自我学习、自我解决问题的能力，让学生真正成为课堂的主人。
2.进一步体会假设法
师：是啊，我们刚才研究的都是筷子的数量比杯子的数量多1的情况，那如果像刚才这个同学说的，筷子数比杯子数多2，或者多3，多4，多5，……，是不是还会出现这样的结果呢？那咱试试，行吗？咱们先从简单情况入手，把5根筷子放到3个杯子里，想一想，会怎么样？
生：5÷3=1……2，1+2=3。总有一个杯子至少有3根筷子。
生：总有一个杯子至少有2根筷子。
师：把5根筷子任意地放到3个杯子里，到底怎么样呢？大家动手摆摆看。
学生实验。
师：谁愿意上来摆摆看。怎么列式？
师：如果把7根筷子放到4个杯子里呢？为什么？同意吗？
师：如果把9根筷子放到4个杯子里，会怎么样？
生：9÷4=2……1，剩下的1根筷子不管怎么放，总有一个杯子里至少有3根筷子。
师：把15根筷子也放到4个杯子里，又会怎么样？
生：15÷4=3……3，总有一个杯子里至少有4根筷子。
师：同学们，看一看，总有一个杯子里至少有多少根筷子呀？
生：我认为不管怎么放，总有一个杯子里至少放了“商加1”根筷子。
师：为什么呢？
生：用筷子数除以杯子数，得到的商就表示每个杯子里分到的筷子数，不管剩下多少根，这个余数总是比除数小，也就是说剩下的筷子数总是比杯子数少。再将剩下的筷子数平均分，总有一个杯子能放进1根筷子，所以用原来已经放进去的筷子数加上这1根筷子，就能得到总有一个杯子里至少放进的筷子根数。
生：如果筷子数正好是杯子数的整数倍时，即余数是0的时候，这时总有一个杯子里至少放进了“商”根筷子。因为余数是0，就没有第二次分了，所以这时总有一个杯子至少有商根筷子。
师：听，人家考虑的多周到。说的太好了，你们真是善于思考的孩子。同学们，难到你们不想来点掌声吗？
师：同学们，如果我们继续研究下去，会怎么样呢？
生：只要用筷子数除以杯子数，就能知道总有一个杯子里至少有多少根筷子。有余数时，不管怎么放，总有一个杯子里至少有“商加1”根筷子，没有余数时，不管怎么放，总有一个杯子里至少有“商”根筷子。
（完善板书）
（三）揭示课题，资料介绍
师：同学们，知道你们刚才说的是什么吗？这就是著名的鸽巢问题，又称抽屉原理。（板书：鸽巢问题）刚才大家所用的筷子就是被分的物体，谁做抽屉呀？（板书：鸽子 巢）
师：有关鸽巢问题的知识呀，请看大屏幕。（课件展示）
【设计意图】增加数学文化气息，拓宽学生知识面，感受数学在生活中的作用，激发学生对数学的热情。
三、应用知识解决问题
1.为扑克牌游戏揭秘
师：那么运用我们今天所学的抽屉原理的知识，谁能为老师表演的扑克牌魔术揭秘呢？谁愿意试试？
生：扑克牌共有4种花色，也就是4个抽屉，把5张扑克牌放到4种花色里，5÷4=1……1，余下的一张无论怎么放，总有两张是相同花色的。
师：（课件演示）他的话非常有道理。我们把什么当做巢？（4种花色）谁当做鸽子？（扑克牌）。把5 个东西分到4个抽屉里，不管怎么放，一定会怎样？
师：鸽巢问题的作用这么大啊，利用它还能解决扑克牌当中的问题呢。
【设计意图】研究的问题源于生活，还要还原到生活中。让学生利用所学揭示课始准确猜测之奥秘，达到巩固应用的目的。
2.解决实际问题（明确用鸽巢问题解决实际问题的关键）
师：下面，我们再用鸽巢问题解决一个问题。
（课件出示：8只鸽子飞回3个鸽笼，至少有（ ）只鸽子要飞进同一个鸽笼里，为什么？）
师：谁来读读？是啊，至少有几只鸽子要飞进同一个鸽笼里呢？为什么？
生：至少有3只鸽子要飞进同一个鸽笼里。因为8÷3=2……2，2+1=3。
师：哦，我们来看看，是这样吗？（课件演示）和你们想的一样吗？
师：同学们，想一想，用抽屉原理解决实际问题的关键是什么呀？
生：搞清楚谁当被分的物体，谁当抽屉。
【设计意图】实际问题与抽屉原理之间架起一座桥并不容易，通过分层练习，引导学生如何把具体问题转化为抽屉问题，突破难点。用抽屉原理解决具体问题进行建模，让学生体会到抽屉原理的形式是多种多样的。
师：是啊，弄清楚了谁是物体，谁是抽屉，用抽屉原理解决实际问题就简单了。大家对自己应用抽屉原理解决实际问题有信心吗？那咱们来试试，请看题。
（课件出示：有5袋饼干，毎袋10块，发给6个小朋友，总有一个小朋友至少分到几块饼干？）
师：谁想试试？
师：和他一样的请举手。同学们真厉害，不动笔就知道了答案，看来大家个个都是动脑高手。还想试试吗？行，请看题。
（课件出示：课本P71页的第2题）
师：同学们真是人小智慧大，既善于观察，又善于总结规律，还能把刚刚学的新知识学以致用，解释了这么多生活中的现象。同学们，在我们的生活中还有哪些能用抽屉原理来解释的现象呢？
师：同学们真了不起，找到了这么多能用抽屉原理来解释的现象。大家课后还可以再找找，一定还能找到更多能用抽屉原理来解释的现象呢！
【设计意图】让学生充分想象与思考，调动生活中的感性经验积累，挖掘生活中的抽屉原理现象，对本课进行深化与外延。
四、课堂小结
师：这节课同学们有什么收获？
生：我学会了抽屉原理的知识。
师：具体说说，是哪些知识？
生：我还学会了应用抽屉原理来解决一些实际问题。
师：比如像我们刚才解决的鸽笼问题和扑克牌的问题，是不是？
师：同学们，老师对你们今后利用抽屉原理解决实际问题充满了信心，今天这节课就到这里。下课。
板书：
鸽巢问题
筷子 ÷ 杯子，有余数，总有一个杯子里至少有“商+1”根筷子
（鸽子） （巢） 无余数， “商”
4 3 2
6 ÷ 5 = 1……1 2
100 ÷ 99 = 1……1 2 （2，1，1）
5 ÷ 3 = 1……2 2 （2，2，0）
7 ÷ 4 = 1……3 2 （3，1，0）
9 ÷ 4 = 2……1 3 （4，0，0）
15 ÷ 4 = 3……3 4
……
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