“比”作为数学课程中的一个重要数学概念，具有广泛的联系性和应用性。
      在我国小学数学教材中，“比”这一数学概念是从六年级开始出现的，关于“比的认识”的知识点主要包括比的意义；比各部分的名称；比的写法及读法；比与分数、除法的关系；化简比和求比值面对零碎而繁多的知识点，关于“比的认识”的教学往往给人以“盈满”之感，丰富的情境设、多媒体素材的引入，似乎掩盖了“比”这一概念的本质特征及其重要价值“。
      比”这一数学概念是如何产生的？其本质究竟是什么，“比”在小学数学知识体系中的特殊内涵是什么？这些问题亟待思考和探索。

      一、”比“的产生
      “比”产生的客观基础和主观愿望原始社会，人们生产力平较低，主要以狩猎、采集、捕鱼等方式维持生存，经济生活采取平均主义分配的方式，当人们将打猎、采集的物品进行平均分配时，就要考虑到“有多少”和“谁多谁少”的问题，“量（liàng）”的概念自然就产生了，只不过当时没有被抽象出来而已。
      由于原始人类的思维十分感性具体，缺乏抽象力和逻辑能力，因此在当时无法抽象出“数”的概念，“数”还没有同被计算的实物分开。[1]
      那么怎么确定“有多少”和“谁多谁少”呢？
      原始人采用了“一一对应”的方式来确定，即，把两组实物进行一一比较，如果完全对应，则这两个组的数量就相等；如果两组对象在一组对应完之后还有剩余，那么有剩余的这一组数量就多。         随着公共财富（食物、衣服、武器等）的逐渐积累，人类开始把一些被数实物用其他物品或标记来代替（如小石子、绳结、树枝、刻痕等），此时，同样采用“一一对应”的原则进行比较只不过比较的对象为被数实物的代替物或标记而已，这种计算方法在某种程度上促进了计算具的产生，如算盘。
      由此可见，原始人对于“量”的认知是建立在实物之上的。随着人类生产实践的发展，“有多少”和“谁多谁少”已经不能满足人类的实际需要，“有多长”“有多重”“有多大”等诸如此类的问题便应运而生。
      历史上在没有统一度量单位的时候，对于诸如长短、大小、多少这样的问题，通常是用测量的方法表示两个量之间的关系。测量某一事物，首先需要选择一个事物作为度量单位，用它来度量被测事物，所得的量数就是度量数量与度量单位的比，用公式表示成：度量数量 = 度量单位 × 量数。
      比如，测量两条线段，可以用较短的一条去测量较长的一条（较短的那条被看作是度量单位），如果两次恰好量尽，则较长的那条线段与较短的那条线段的长度比为2∶1 ；或者找第三条线段作为度量单位，依次去量其他两条线段，如果用两次量尽较长的那条线段，用一次量尽较短的那条线段，则较长的那条线段与较短的那条线段的长度比为2∶1。在《辞海》（数学•物理•化学分册）中，“比”被描述成“：比较两个同类量 a 和 b 的关系时，如果以 b 为单位来度量 a，称为 a 比 b。”
      从上述测量的方法来理解关于“比”的这个解释就很自然地明白其中的含义了。建立比的严格理论的人是欧多克索斯，他引入了一个变量的概念，它不是整数，他认为整数是跳动的个体（即离散的），而量是指线段、角、面积、时间等可以连续变动的东西，他用量这个概念建立了比和比例的理论。这样就把有公度的比和无公度比（比值为无理数）都包括进去了。
      欧几里得《几何原本》中第五卷《比例论》被认为是根据欧多克索斯的成果而编写的，也是欧几里得几何的成就之一。
      由此可见，“比”产生的客观基础是“量”。量是表示具体事物在运动、空间和时间存在方面的规定性，即表示具体事物存在和发展的规模、程度、速度、水平、等级等数量方面的规定性。量是客观存在的，是客观事物本身所固有的，离开客观的具体事物，就没有量。[4]人们想要知道并描述两个或两个以上“量” 之间的关系，这就是“比”这一概念产生的主观愿望。

      二、“比”这一数学概念的界定

      从数学符号的历史来看，“比”的产生和除法有着密切的关系；美国加利福尼亚州小学数学教材对“比”的界定也有除法之意“：比”是两个量相除关系的比较。
      在小学数学教学中，除法、分数和比这三个概念紧密相关，常被进行对比；从历史的发展来看，其来源不同，在数学中的含义也是有区别的。
      “除法”作为相对于乘法的逆运算而存在，侧重的是计算的过程、方法和结果“；
      分数”是为了表达小于1的“数”而出现的，相对的概念是整数中的“倍”，侧重表达局部与整体的关系；
      ”比”实际上是一个几何意义的概念，是为了表达两个量之间的关系而产生的，其含义应当说包括了分数表示局部与整体关系的含义。
      既然比和分数、除法有着如此密切的关系，两个数的比可以用分数或除法来表示，那么“比”存在的意义是什么呢？
      对此，有学生在一堂数学课中提出“：既然两个数相除又叫做这两个数的比，那为什么还要学比呢？”
      王永老师指出：长度、面积、体积、质量等常见的量，都是物体可度量的属性。物体除了可度量的属性，还有不可度量的属性，如颜色、形状、质地等，这些属性不可度量，比源于度量，比能够解决物体不可度量的属性的可比性，这才是比的本质。[6]1993年台湾新编的教材中指出，“比”是指并置的两个量的对等关系（或称为配对关系、对应关系）的记录，例如，“小华拿3个苹果，去水果市场换了5个梨子”，可以记为“3∶5”，从这个意义上来讲“比”的产生也在一定程度上拓展了解决对等关系问题的思维方式与策略。

      综上所述，比表示量与量之间的关系，反映了不同事物或同一事物的部分与部分、部分与整体之间的关系“。量”可以是同类量，也可以是不同类量；量与量之间“关系”主要指：倍数关系（一个量是另一个量的几倍）、分数关系（一个量是另一个量的几分之几）、对等关系（一个量的 m 倍相当于另一个量的 n 倍）。
      比有两种形式：同类量之间的比和不同类量之间的比。同类量指的是两个“量”的度量单位相同，如长度与长度、体积与体积、时间与时间；不同类量指的是两个“量”的度量单位不同，如路程与时间、总价与数量。
      国外有教材将同类量的比称为“ratio”，把不同类量的比称为“rate”。我国小学数学教材中关于“比”的内容设置、教师的教学设计也着力体现了比的这两种形式《。几何原本》中对比的界定是“：比表示两个同类量之间的比较关系。”[7]由于两个同类量的度量单位是相同的，因此它们之间的比实质上就是量数之比（量数是度量数量与度量单位之比）。同类量中两个数的唯一区别是大小关系[8]，即量数的大小；而不同类量之比的结果是产生了一个新的量，例如，路程与时间之比是速度，总价与数量之比是单价，质量与体积之比是密度。

      三、从数学内部知识的关联性看“比”的特殊内涵

      《义务教育数学课程标准 (2011年版 )》在总目标第二条指出：体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系。[9]由此，关于“比的认识”的教学应着力体现这些关联。从大量关于“比的认识”的教学设计和教学实录中，不难发现，教师们都非常注重“比”与生活之间的联系。
      例如，从糖水的甜度、空气中气体的组成及含量、照片或红旗长宽的倍数关系、路程与时间的关系、总价与数量的关系等来表明两个量之间的比，并通过出示金字塔、巴黎圣母院、枫叶、芭蕾舞演员等图片来介绍“黄金比”，从而进一步反映出“比”与生活联系之紧密，同时也使得数学与其他学科（如美术、生物、科学、地理等学科）之间建立起了联系。
      然而对于数学内部知识之间的联系却关注得比较少，只是对“比”与分数、除法的关系作了比较“。
      比”作为小学数学六年级教材中的知识点，它的出现和安排一定有其“承上启下”的特殊内涵。

      1、“数与代数”中的“比”

      “数”是人类在生产和生活实践中逐渐形成和发展的最基本的数学概念。
      在人类历史发展的最初阶段，由于计量的需要，形成了自然数；随着人类生产力的发展，对计量结果的描述呈现出多样化趋势，因而引入了分数、有理数，当人们意识到并非任何一个量都可以表示成两个整数之比时，无理数便产生了，其产生最初是源于人们对正方形对角线与边长之比的研究，随之便产生了无公度比（比值为无理数）。
      数的分类与“比”其实也存在着密切的关系，这可以用度量的思想来解释，即量数就是度量数量与度量单位的比。
      例如，如果把2看作是度量单位去度量自然数，根据是否能量尽这一标准可以把自然数分为奇数和偶数；如果把1看作是度量单位去度量自然数，根据除了1以外是否有其他度量单位能够将此数量尽这一标准可以把自然数分为质数和合数。
      小学数学常见的单位换算中也存在着“比”，如重量单位（吨、千克、克）、长度单位（千米、米、分米）、时间单位（时、分、秒），其进率就相当于“比值”。
      求比值有时需要约分，这就和因数与倍数的知识有密切联系；比的基本性质实质上就是“商不变”规律的又一体现；比与除法有着直接的联系，进而也与加法、减法、乘法存在某种间接联系。

      2、“图形与几何”中的“比”

      “比”本来就是一个几何意义上的概念，因此它在小学“图形与几何”课程内容中的重要性是毋庸置疑的。
      如正方体的棱长相等，那么棱长之间比值也相等，并且其顶点数与棱数之比为2∶3 ；除此之外，等边三角形、等腰梯形、平行四边形等图形的边长、内角等也都存在着类似的“比”。
      在小学阶段，学生在计算图形的面积时主要采用数方格、图形转换等方法，数方格实际上就是用边长为1的正方形去度量所求图形的面积，看多少次量尽，这同样也是在“比”。
      学生在学习“位置与方向”时，对于点的确定，往往要用横坐标数、纵坐标数来表示，如（1，3）、（2，6）、（3，9）就表示三个不同的点，如果在坐标图中描出并连接这三个点时，就会发现这三个点可连成一条直线，这是因为这三个点的纵坐标数与横坐标数的比值都为3。点动成线，线是角的组成部分，角概念的主要作用是为了描述方向的改变，角的大小可以通过线段长度的比来确定（中学数学将其称为斜率），因为度量角，产生了比，由此也产生了三角函数；[10]到了初中，学生还会接触“相似三角形”，实际上就是对应边成比例的问题。
      此外，学生在学习“比”之后，紧接着就会学习“圆”，同一个圆的周长与直径的比是一个固定的常数，圆的面积与半径平方的比也是一个固定的常数，这个数就是圆周率；实际上，圆周率反映了圆的周长和直径、圆的面积与半径平方成正比例的关系，正比例反映了两个变量的比值保持不变。
      由此可见，“图形与几何”课程内容中也存在着“比”。
 

      3、“统计与概率”中的“比”

      “比”表示量与量之间的关系，反映了不同事物或同一事物的部分与部分、部分与整体之间的关系。而
      小学“统计与概率”这一部分课程内容就是让学生经历收集、整理、描述和分析数据的过程，感受随机现象发生的可能性。
      统计的目的就是为了了解不同事物或同一事物的部分与部分、部分与整体之间的关系，并且常用百分数来表示这种关系，这实际上就是“比”的体现，即反映了同一事物的部分与部分、部分与整体之间的比：概率的基础是“比”，事物可能性的大小通常用分数表示，比值反映了概率的大小。

      在小学数学课程中，“比”无处不在，“比”这一知识的重要性之一就在于体现它 与其他知识之间的关联上，只不过有时“比”的这种存在是隐性的，“比”与许多知识之间的联系是间接的。概念教学不是定义的教学，任何一个数学概念都有其特殊的本质、丰富的关联、特殊的内涵，如果教师善于挖掘、提炼和运用这些资源，那么将会对小学数学教育和教学产生深刻的影响。

         ——《教学月刊小学版（数学）》（2013.8）

                          2014年第03期

                            （但军选录）