“长方体体积公式”变形记
走进公式世界 体验扩张思维
——“长方体体积公式”变形记
“什么才是有价值的学习？”戴维·珀金斯在《为未知而教，为未来而学》中指出：我们需要以一种“未来智慧”的新视角来看待教育，在教育中既关注已知，又关注未知。
在今天这个复杂而多变的世界中，努力培养学生的好奇心，启发智慧，增进自主性和责任感，引导他们积极、广泛、有远见地追寻有意义的学习。
这与我所设想的教育教学的终极目标不谋而合，我希望自己的课堂有“数学思想”，我的学生有“数学远见”。在我的数学课堂上，坚持着要教会学生现有的书本知识，增加他们的“固定资产”；更希望学生学会瞻前顾后，在“知道”“理解”知识的基础上，学会“应用”与“综合”，学会像数学家一样思考问题，不断扩充他们的“流动资产”。
为此，我不断更新自己的理念，变换自己的教学方式，希望寻找到适合大多数学生的教学风格，使更多的学生沉浸在我的数学课堂中，愿每个学生都能成为未来社会的一只“潜力股”。
“长方体和正方体的体积计算”一课的教学重难点是探索长方体体积公式的推导过程。根据以往的教学经验，这节课的重难点指数并不高，因为在之前学习体积单位立方分米和立方厘米的关系时，已经埋下伏笔。
当时学生通过观察“为什么1立方分米＝1000立方厘米”的课件演示，得到1000就是由“10×10×10”得来的。这个动画我有意识地反复播放了3遍，视觉的冲击让学生记忆深刻。
本课引入时又让学生操作学具：分别用12个和18个1立方厘米的正方体块搭长方体，通过观察拼搭的长方体的长、宽、高和体积的关系，得出长方体的体积公式；再由长方体的体积公式推导出正方体的体积公式；最后是公式的实际应用。
可是，这样一节传统的课, 我总觉得缺少了点什么。
这节课的思维亮点在哪里？应该从哪个角度去启发学生的智慧？
我尝试着挑战自己，沿用前面的推导过程，预留出2道习题的时间拓宽学生的思维，从另一个角度进行深挖，促使课堂生成更加“原汁原味”。
于是，我开启了由“V＝abh”这个主公式引发的“超级变变变”。一般而言，根据“乘除法或加减法的关系”，一个主公式能延伸出一组变形公式。
【变形1】
这组变形公式大部分学生都能独立推导出来，根据已有的“乘除之间的关系”这一知识点：一个因数＝积÷另一个因数，那么当三个因数相乘时，所求的因数＝积÷一个因数÷另一个因数。
【变形2】
引导学生观察除法算式，提问：“你想到了什么？”有的学生说想到了除法的性质，在我的课堂上经常允许学生扩张自己的思维，没有预设，却生成了如此的精彩。
于是，公式就变形为：
【变形3】
经历了两次变形，我发现教室里的气氛不一样了，学习的热情在高涨。学生盯着黑板上的第二组变形公式，若有所思。
我指着旁边画的长方体，乘势追问：“这里的‘bh’是在算什么？”学生猛然发现，原来“bh”可以求出长方体的左面或者右面的面积，就像发现新大陆一般，简直不敢相信。一个公式，居然能演变出这么多公式。
在许多学生的眼里，公式一直是冷冰冰的存在，没有旺盛的生命力，可是这个体积公式就像一颗种子，生根、发芽、开枝散叶……
【变形4】
几乎所有的学生都觉得结束了，我却来了灵感。“如果用第三组变形公式推导体积公式，会怎么样呢？”“啊！”学生惊呆了，“刚才就是来自长方体的体积公式，现在又要回去？”
仅几秒钟的沉寂之后教室里沸腾了，第四组变形公式诞生：
【变形5】
至此，整组公式已经面目全非，却又合情合理。一路延伸的数学思维让课堂充满乐趣，我们像一群数学家一样沉浸在数学的海洋中。这是一节从来没有过的数学课，学生的注意力高度集中。
环顾整个教室，没有一个开小差的学生，我感觉到了一双双闪光的眼睛、求知的眼睛，自豪感油然而生。“孩子们，我们知道‘S右＝bh’，那么‘V＝a·S右’就是‘V＝abh’。”
根据乘法交换律，学生很容易发现“bah”“hab”其实与“abh”是相等的，也就是说，公式彻底回去了，这是真的吗？
“如果是这样一个立体图形，用今天所学的知识能求出它的体积吗？”
学生陷入了思考，突变的话锋令学生措手不及，他们似乎不知道从何开始思考。
我指一指变形4，期待有学生打破僵局。
“我想用‘V＝h·S下’这个公式，这里的S下可以表示下底三角形的面积，只要求出它的面积，再乘高，就可以算出这个物体的体积了。”
掌声雷动……铃声响起。
课后，一位学生在黑板上画了一幅图，问道：“老师，这个立体图形的体积可以用‘V＝h·S下’这个公式吗？我觉得不太对。”
“是的，用这个公式是不对的，为什么？”我先肯定他的想法，鼓励他说出不妥的地方。其实，他的思绪已经飞到后续要学习的组合体的体积计算了。“这个物体的高不一样。”孩子指着物体左边和右边的高度回答。
“非常棒，你觉得可以用哪个公式呢？”我继续追问。
“可以用‘V＝b·S前’”。他若有所思地回答，但语气很坚定。
“完全正确！”学生已经把今天所学的知识融会贯通了，这才是我要的学习状态。
这节课后，我给学生布置了一项特别的作业：如果让你重新设计老师的板书，你会怎么做?学生的作品让我喜出望外，他们的逻辑思维能力在扩张，形式上有了自己的思考，更明晰了公式变形的来龙去脉。
今天的我就像一个“引路人”，拉着一群孩子跟我一起“出走”，似乎离开了，其实更近了。
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