＂交换律＂后置性高阶思维探究作业展
后置性探究作业展高阶思维，反刍课堂
——以 “交换律”一课为例
有意义的数学作业，不仅需要浅层次的辨认、纠错、跟进练习，也需要以问题或项目为载体的探究性作业，让学生在一定的探究问题引领下表达自主探究与思考的过程。
数学探究性作业关注能力养成、自主思考和个性化探究。
布置在新知学习之后的后置性探究作业，立足于巩固和拓展，一般要求学生呈现比较完整的自我思考过程。学生须在课堂上积累“经历过程”“表达思考”的经验，否则他们面对探究问题时就会觉得无从下笔、难以表述。
也正因此，探究性数学作业具有了“反刍”课堂、撬动课堂生长的效用。
本文试以人教版《数学》四年级下册“运算定律”单元“交换律”一课为例，阐述后置性探究作业如何促进学生高阶思维的发展，并有效反刍课堂。
“交换律”一课是运算律教学的起始课，学生需认识理解、掌握运用加法、乘法交换律，知道减法和除法没有交换律，能根据交换律解决简单的问题，掌握科学探究的一般方法，发展实践精神和创新能力。
那么，教材中关于交换律的习题有哪些？学生思维处于什么层次？
教材现有习题大致可分为三类：
一类如图①，根据乘法运算定律填合适的数，学生只要根据习得的乘法交换律加以匹配即可；
一类如图②，判定算式运用了什么交换律，学生需调用对交换律的已有认知自行推断；
一类如图③④，经由“验算”“填表”，引导学生将新学的加法交换律与以往的加法验算、表格计算对接起来，帮助学生将新知纳入原有的知识结构。
但显然，现有习题都是对新知学习后的回忆、提取和推断，属于低阶思维。
这样的习题固然需要，但无法全面反映学生学后的真实水平。如果只做这类作业题，学生只需举例发现等式中加数、和的特点，然后根据概念做针对性的判定、巩固题即有能力达成。这样的后置性作业对课堂的反推力是极其有限的。
站在发展高阶思维的角度，只有以过程性目标为支架设计和推进后置性探究作业，引导学生在作业过程中进行相应的“发现、尝试、追问、探究、联结”等思维活动，课堂教学才会得到及时反刍，学生才能经历进一步的思维加工过程。
结合交换律一课的过程性目标和探究作业的类型与设定理由，具体作业设计如下：
【探究问题1】你有办法不写“交换律”三个字，却能让别人看到“交换律”吗？你能用几种方式表示出“交换律”？可以画一画、写一写。
【探究问题2】通过举例子→发现→验证， 我们得到了加法交换律，又经过大胆猜想→举例验证→否定减法、除法有交换律，得到了乘法交换律。经历这样的学习过程后，面对下面的材料，你能发现什么、想到什么？你会举例验证吗？请把你的所有想法写下来。（可以先算一算）
（2+50）+20= 2+（50+20）=
（8+5）+5= 8+（5+5）=
（18+4）+6= 18+（4+6） =
这份探究作业对学生提出了较高层次的思维要求。以下从发展学生高阶思维的角度对这两个探究问题加以剖析。
探究问题1要求学生用多种方式“让别人看到‘交换律’”，学生必须借助文字、字母、符号等来表征自己习得的交换律，锻炼传意能力。
探究问题指向明确，“不写‘交换律’三个字，却让别人看到‘交换律’”激发了学生的兴趣，“画一画、 写一写”形式自由，进一步发展学生的构思能力。
探究问题2先让学生回顾学习交换律的基本过程，再呈现一组“结合律”的学习材料，要求学生利用这份材料探究结合律。
学生需要观察、发现、抉择，并举例验证，发展了探究能力、推理能力。
在整个作业过程中，学生需要精确分析问题、解决问题，展现个体对知识理解的灵活性和独创性。
为了让学生有能力完成这份关注高阶思维发展的探究作业，课堂上必须凸显两处深度体验：
一是让学生理解交换律为什么存在，从运算律的通性通法层面把握交换律的本质特征；
二是让学生经历从例子中归纳发现结论的合情推理过程，经历乘法、减法、除法是否有交换律的联想、猜测、验证、类比的推理过程，感受推理的科学性。
【教学片断】
感受科学性（1）：谈话中初悟
师：（ ） × （ ） = （ ） + （ ）。必须填入相同的数。你知道填什么数吗？
生：2。
师：你们算一算，可以填2吗？
生：可以！
生：还有0也可以。
师：（板书：2×2=2+2,0×0=0+0）两个一样的数相乘的积一定等于它们的和吗？
生：不一定。只有2和0符合，其他数都不符合。
师：请你举个例子。
生：3×3不等于3+3。
师：你举出了反例。在数学上，只要找到一个反例就能说明一个结论是不成立的。
“交换律”一课一般抓住“交换”来进行， 但“交换”对学生而言比较容易理解，因此，师生谈话不妨针对“科学性”难点进行。
谈话时发现，无论是三年级学生还是四年级学生，都能立刻质疑教师提出的“两个一样的数相乘的积一定等于它们的和”的结论，并在教师的小结中进一步认识到“必须全部符合才能得出结论，只要有一个反例就不能得出结论”。这份感悟对后续不完全归纳法科学性的渗透起到了很好的铺垫作用。
感受科学性（2）：正例、反例中再悟
师：这样的式子还有哪些？请把你写出来的和全班分享一下，好吗？
生：3+9=9+3 11+2=2+11 3+9=9+3
生：543+4=4+543 4100+3100=3100+4100。
师：左右两边的式子口算求和，真的都相等。这些式子写得完吗？
（写不完）
有没有发现 共同的规律？
生：数的位置不一样，但是数一样，所以得数也是一样的。
生：它们都使用了交换法，左右的答案是一样的。
生：交换了两个加数的位置，得数不变。
生：两个数相加，交换加数的位置，和不变。
师：说得越来越清楚了。什么变了，什么不变？
生：加数的位置变了，加数不变，和不变。
（板书：交换两个加数的位置，和不变）
直接从四个式子求和切入，让学生照样子写式子（任意写，不计时间），学生自发认识到这样的加法等式是写不完的，进而归纳出“交换两个加数的位置，和不变”这一规律。
师：难道任意两个数相加，交换加数的位置，和都不变？我们是不是应该检验一下？用什么办法来检验？
生：找找看有没有和变了的式子。
师：找反例，好办法。只要找到一个反例， 这个规律就不成立了。
生：76+358与358+76，好像不相等。
（板书加式，写成两个竖式）
生：算出来是相等的。老师， 3.8+2.1，小数行不行？
师：小数加法还没学过，你们会算吗？
生：我会算。3.8+2.1=5.9， 2.1+3.8=5.9，和也是相等的。
（板书加式，写成两个竖式）
生：老师，这是加法的验算，算出来结果肯定是相等的。
师：哦，原来我们以前加法验算就是利用了“交换加数的位置，和不变”的规律啊！怪不得找不到反例。那么，像这样的规律你们知道它叫什么吗？
生：交换律。
生：加法交换律。
师：非常厉害，它叫加法交换律。在数学上还可以用一个式子把它表示出来，你知道吗？
生：a+b=b+a。
师：a和b分别表示什么？
生：表示两个加数。
学生找不到反例，弥补了不完全归纳法科 学性上的不足，而教师将学生找的“反例”摆成竖式笔算，呈现了他们熟悉的加法验算过程，进一步强调加法交换律存在的合理性。
交换律为什么存在（1）：“数“”放”中求本源
师：咱们找到了很多符合规律的式子，却找不出一个反例，确认了加法交换律和乘法交换律的存在；又在减法和除法中找到很多反例，否认了减法交换律和除法交换律的存在。但是同学们，你们能否告诉我，为什么加法、乘法会存在交换律？任意两个数a和b相加，“和”为什么是不变的呢？
生：因为两个加数没有变。
生：因为数的大小不变。
生：我反驳。减法里面，被减数和减数的大小也不变，怎么就不能交换位置了呢？
生：一个是先加6再加7,另一个是先加7再加6，它们的结果是相同的，只是位置变了。
师：有些意思了，老师给大家拍了一个小视频。（观看视频，略）你有什么启发？
生：因为它们的总个数不变。
生：他是先数了6个，接着数了7个；然后先数了7个，再数6个。总共都是13个。
生：总共13个，随便先数哪一部分，只要接着往下数，一共就是13个。
师：“接着往下数”，大家刚认识两个数相加的时候，就是这么做的呢。（课件呈现一年级“加法”教材图，略）先数出a个，接着往下数b个，和先数出——
生：b个，再数出a个，总共的个数不变。
生：就是两部分要合起来。
师：如果等号两边要相等，应该怎么摆放？（呈现天平图）
生：左边已经有a了，要放一个b，右边已经有b了，要加一个a。只有a和b合起来才会等于b和a合起来。
师：看来，加法交换律的道理明白了，那么乘法交换律的道理呢？请你自己写一写、画一画，独立思考之后同桌交流。
生：我觉得乘法和加法是一样的。比如，有6个圈，2×3就是这样数（圈画）， 3×2就是这样数（圈画），总共还是6个。
师：横着数，竖着数，总数的确一样。有同学说乘法和加法是一样的，你认为它们之间有联系吗？
生：乘法就是连加，2×3就是2+2+2,3×2也可以表示成2+2+2，所以2×3=3×2。
生：我觉得2×3是2+2+2，3×2应该表示为3+3。它们的和相等，所以2×3=3×2。
学生有能力从大量式子中归纳出交换律，却没有办法说清楚道理。数木圈的小视频，学生观察到左边数完“接着数”右边得到的结果，和右边数完“接着数”左边得到的结果是一样的，也能通过天平图表述“只有a和b合起来才会等于b和a合起来”。
明白易懂的直观演示结合加法意义的回顾，从本源上让学生感受到加法交换律的成立。而乘法交换律成立的理由放手让学生来表述，学生经由之前积累的经 验会选择画圆点图来解释乘法交换律，并在教师的追问下打通了加法和乘法之间的关联。
交换律为什么存在（2）：对接原有经验
师：（课件呈现下图）在我们以前学过的数学知识中，你能发现交换律的影子吗？生活中存在交换律吗？
验算、乘法口诀这些数学化的“交换”体验，让学生进一步了解了交换律；而通过对生活情境的观察，提炼蕴藏其中的交换律，则进一步深化了学生对交换律的认知。
上学路线（线段图）、座椅摆放（实物图）、班级总人数（条形图）丰富了交换律的具体表征，其中条形统计图里放入4个信息，学生可以寻找到多个运用交换律的等式，并进一步理解交换律为何都表述为“两个数相加（乘）”而不是“几个数相加 （乘）”。
【呈现高阶思维的探究作业欣赏】
1.丰富的表征：原有经验激活，新旧知识融合
学生在后置性探究作业中的“表达”，其“源”是课堂教学。
在作业①②③中，学生列举了具体的交换加数和乘数的等式，较为抽象的字母表达式，天平图，涉及加法、乘法意义的点子图、集合图以及验算回顾等，这既是课堂所学知识的再现，如a+b=b+a，也有学习内化后的迁移扩张，如c+d=d+c。
当学生写出5+4+2=2+4+5、a+b+c =b+c+a或画出○○○ ○○○○ ○○= ○○ ○○○ ○○○○=○○○○ ○○○ ○○，从“两个数相加”发展到“几个数相加”时，都说明学生充分内化了对交换律“通性通法”的理解。
而作业④相当于一份“分析”作业，看似要求别人分析的背后，是学生对“交换律”的深度理解。学生在自设的主题板块中呈现了两个不完整的等式并提出了两个问题，直面加法、乘法交换律的特征。
随后设计了两个“提示”，一是呈现10÷2=5，10÷5=2，并配以直观图，说明除数和商可以交换位置，从除法“平均分”反推乘法交换律的成立，这一角度暗合“总数不变”的含义，表达却另辟蹊径；二是借助天平图，从“和不变”且符合交换律与“和不变”但不符合交换律的双向角度强调了交换律的主要特点。
经由这样的两份提示，最后提出了归纳层面的问题：你会做这样的题目了吗？你会用这样的运算定律了吗？——即“是什么”“怎么用”的问题。
整份作业没有提及“交换律”三个字，却将交换律的本质展现得淋漓尽致。 新知识的建构必须来源于已有知识，教师需要关注学习者在给定作业主题时呈现出的对概念的自我解释。
从学生的作品中，可以发现学生是身心愉快地投入其中的。他们竭尽所能写写画画，把交换律学习过程中的习得情况在探究作业中予以充分的“天真”的展现。
将经历的过程清晰准确地迁移到新知的探究中，这是高级的认知过程，而这一高级的思维加工过程正是由探究作业提供的开放空间和高阶问题打造而成。
2.童趣的推理过程：体现科学性、创新性
作业⑤中，学生在计算后首先发现“和不变，位置不变”，但是“括号移动”了。认定这些特征后，举出很多例子并得出结论：几个数相加，小括号可以随便移动，和不变，这叫加法括号移动律（根据特征自己命名）。随后，猜想乘法、减法、除法是否有同样的规律，一一举例验证后归纳总结加法、乘法有括号移动律，减法、除法没有括号移动律。
学生清晰地呈现了观察→发现→举例验证→猜想→验证→总结的思考过程，体现了学习方法层面的正向迁移。
而作业⑥更关注意义的阐释，验证也更科学、缜密。
学生观察等式后，根据式子的特征抽象出了字母式（a+b）+c=a+（b+c），然后提出问题：“和为什么不变呢？”在学习交换律时，学生深度体验过“交换两个加数的位置，和为什么不变”，面对此处的“和不变”，学生自发产生了探究原因的诉求。
通过画集合图、路线图， 学生发现其本质也是“累加”，也是“取并集”， 于是得到结论：在加法里面，由一部分数先加变成另一部分数先加，和不变。此时，加法交换律、加法结合律的本质被贯通，都是源于 法的“合并”。并且，学生在猜想、验证乘法时，用“……”“例子举也举不完”表达了“所有的例子都符合该规律”；在探究减法、除法时，用“给一个反例就能排除”体现了用反例提升不完全归纳法的科学性。
探究作业的设计，要关注学习者的已有知识和经验，并将其作为认知发展的起点。由此设计的关注高阶思维发展的后置性探究作业，需要学生将所习得的知识经验作进一步的思维加工。学生只有在课堂上经历丰富的感知和体验，才能在面对探究问题时进一步促进概念的转化、方法的迁移，从而促进有效学习的发生。
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