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顾志能老师《三角形内角和》一课的教学创新

发布时间:2019-05-23 07:00 点击数: 【字体:


学生都知道了,课怎么上?
——《三角形内角和》一课的教学创新与思考
 
    教《三角形内角和》,不可避免地会面临一个学情——上课前学生都已经知道了相关内容和结论。这是小学数学教学中经常会遇到的现象,这样的课,我们又该怎么去上呢?
    一次大型教研活动,邀我上一节课,我特地选了《三角形内角和》。我很想以这节课的“教学创新”,给与会教师提供处理此类课例的一种思路——直面学情,精编内容,巧设过程。
    之所以还要说“学情”两字,那是因为在我看来,本课教学前学生的“已知”,是值得我们细细咀嚼的“已知”。
 
    学生知道了什么?——三角形不管什么形状、大小,内角和总是180°。
    学生是怎么知道的?——可能是书上见到过,也有可能是在上一册学习“角的度量”时,听老师无意中说起过的。
    问题就在这里!——这样的“已知”,是真正的“已知”吗?
 
    当然不是!这样的“已知”,仅仅是表面的“已知”,是意义不大的“已知”。学生知道的只是“三角形内角和是180°”这样一个结论,但他们既没有系统、深刻地经历这个知识形成的过程,也没有通过这个知识的学习积累数学的活动经验,感悟数学的思想方法。学数学,若仅仅记住一个结论,显然是远远不够的。
 
    但是,学生自然无需在意这些,学生只是觉得:“我都已经知道了,这堂课还有什么好学的呢?”因此,无学习的动机,无探究的愿望,一定是学生最真实的思维状态。
    学情已经分析清楚,道路也已摆在面前:以怎样的内容来激发学生学习的兴趣,以怎样的过程来引导学生深刻地经历?
    “真的吗?为什么?有什么用?”三句板书串成的一堂课开始了……
 
真的吗?
 
    课前, 黑板上已板书课题“三角形内角和”,并画好了一个三角形。
    师:同学们,请看黑板。三角形有三个顶点,三条边,三个角。这三个角叫作内角,每个内角都有度数,三个内角度数的和,就叫三角形的内角和。今天,我们就要学习三角形内角和。关于三角形内角和,你们已经知道了什么?
    生:三角形内角和是180°。
    生:我们老师说过,三角形内角和永远都是180°。
    生:三角形不管什么形状,不管什么大小,内角和永远都是180°。
    全班学生没有一个不举手的,回答问题时还略有不屑的感觉。
    师:有这样的结论?真的吗?我不信!
    师:(出示图1)请问这个三角形内角和是几度?
    生:180°。
    师:老师在这个三角形中添一条线,分成两个三角形①号和②号。(出示图2)现在将它们分开,(出示图3)请问①号三角形内角和几度?
    学生有说90°的,瞬间又改口说180°;也有学生说180°,但显然“口气不硬”。
    师:那么,②号三角形呢?
    很多人坚持回答180°,但底气更显不足。
 

 
    师:刚才一个三角形内角和是180°,现在分成了两个,每个还是180°?真的吗?我不信!你有什么办法说服我?
    生:老师,那我们量一量,看看到底是几度。
 
    不遮掩学生的“已知”,把学生的“已知”暴露出来,课由此而显得真实、生态。以一个简单的图形变式,“打压”学生的强势状态,表达出教师的“疑惑心理”。真的吗?你有什么办法说服我?主动地测量开始了——这原本是这节课学生最不愿意干的事情。
    通过测量,学生发现这两个三角形内角和都是180°。“气”缓过来了!但教师的质疑马上跟进。
 
    师:同学们,世界上的三角形有很多很多,现在凭这两个三角形的内角和是180°,难道你们就敢说“不管什么形状、大小的三角形,内角和永远是180°”?我可不信,你有什么办法说服我?
    生:老师,那我们要不每人再画一个三角形,大家画得都不一样,然后再量一量,看看内角和到底是几度。
    师:这个办法好像可行,那就让我们再试试吧。
    学生都极为认真地画三角形,且故意画得形状很特别,或长或大或斜。然后, 每个人都极为精细地测量着……
 
    为了“说服”老师,学生自己画三角形、自己测量计算,学习的主动性在延续着。若你是个有心的教师,你会发现,一些学生测量之后计算时,会重量、调整某个角的度数——为了凑得180°。看似好笑的举动,不正反映出学生在认真、深刻地经历着三角形内角和“研究”的过程吗?
    反馈时,结果是180°的都略过,结果不是180°的我有意呈现了几个。
 
    师:同学们,你们看,这些同学画的三角形,内角和就不是180°。我们前面的结论好像不成立呀?
    生:内角和是180°,他们只是量得不准。
    生:他们的答案,都在180°左右,说明这就是误差造成的。
    生:测量总归是有误差的,哪能量得那么准呢?
    师:我承认,测量一定是有误差的。那么,我们现在有没有什么办法来说明,这几个三角形的内角和到底是不是180°呢?
    学生要么说再量得仔细一点,要么束手无策。
    师:那么,老师也用个办法来量一量?我的量法很特别,不需要量角器,只需要一支铅笔。
    我借学生的一个三角形,在展台上边演示边讲解如下过程,如图4。重点是让学生看懂铅笔的转动,实际就是在依次“测量”三个内角。
 

 
    师:笔尖原来朝着右边的,“量”了三个角之后,朝着左边了。这说明,这三个角的度数之和是多少呢?——180°。
    学生看得兴趣盎然,我一声“你们想不想这样再量一下”,教室里一阵“骚动”,每个学生都迫不及待地开始了这样的测量……
    师:同学们,现在我们能说三角形的内角和一定是180 度吗?
    生:能。
    师:我觉得不能!
    师:到现在为止,我们前面量过两个三角形,刚才又每人量了一个三角形,这些三角形内角和的确都是180°。但是,世界上难道就只有这些三角形!凭这些三角形,就能说“不管什么形状、大小的三角形,内角和永远是180°”?
    学生哑然了。我再次提出:你有什么办法说服我?
    生:那我们再来研究更多的三角形。
    师:好呀,你们不是课前每人剪了一个三角形吗?要不我们就来研究这些三角形,看看它们的内角和是不是也是180 度?
    学生拿出三角形,有人想量角,有人又想转铅笔。我即时叫停。
    师:如果不量,不转铅笔,你还有什么办法,来检验你手头的三角形内角和是不是180°?请每人独立思考。
    生:(良久) 老师,我有个办法,就是有点残忍,不知道行不行?
    学具,要把它撕破后利用,学生从无这种经历,因而觉得“残忍”。我鼓励学生表达想法,邀请学生现场表演一把——三个角完美地拼成一个平角。
    师:同学们,你们想不想“残忍”一把?
    热烈的气氛再度上演……
 
    “势利”地说,学习三角形内角和的知识,就是为后续的几何学习作铺垫。一个人,将来若不从事与数学有关的工作,这个知识怕是一辈子都用不到,记不记住这个结论更无关系。然而,如上的转铅笔实验、撕纸拼角实验,经历过的学生,一定会在脑海里留下难以磨灭的印迹——数学,竟然如此有趣!这,不正是一种难忘的数学活动经验,一种宝贵的数学学习情感吗?
 
    师:同学们,到现在为止,我们能说“不管什么形状、大小的三角形,内角和永远是180°”吗?
    生:不能!因为世界上并不是只有这些三角形!
    师:那怎么办呢?世界上的三角形有无数个,这样的实验根本做不完,那我们怎么知道结论呢?
    学生都“若有所思”,但无话可说。
    师:同学们,当我们通过很多个实验都得到相同结论的时候,我们就可以大胆地猜测,即使再做更多的实验,结论依然相同。这正是数学研究的一种方式!所以,我们完全可以说——三角形的内角和就是180°。
 
    三角形内角和的学习, 是渗透“不完全归纳法”的好时机。此处这样“收场”,既实现了数学思想方法的无痕渗透,更是对前面“我不相信”“你有什么办法说服我”驱动下学生探究活动的一个总结。
 
为什么?
 
    师:不知道大家有没有思考过,为什么不管什么形状、大小的三角形,内角和却总是180°呢?
    学生讨论后,一个学生以三支铅笔搭成的三角形为例,上台介绍想法。
    生:大家看,三角形在变形的过程中,有些角会变大,但有些角会变小,所以总和是不变的。
    师:那么,难道变大的度数和变小的度数正好抵消,所以总数不变吗?口说无凭,要不我们让电脑来演示一下。
    我用几何画板动态演示三角形两次变形的过程 (如图5),每次让学生观察角度的变化,计算角度变大或变小的数量。
 

    
    生:老师,我发现了,三角形在变形的过程中,那些角的大小会变,但变大与变小正好抵消,所以内角和不变。
    待学生都认可后,我再次深入——将一个三角形任意变形,学生更清晰地看到了这样的关系。最后,我将三角形的一个角越变越大,逐步接近180°,学生发,另两个角正越来越接近0°……
 
    这里,我要“特别说明”:这不是三角形内角和的证明!小学阶段无证明的要求,真正的证明要到初中,运用平行线的性质来证明。此处如此设计,只是让学生感受到三角形在变形中,因为三个角相互“制约”,从而导致和不变——这能让学生从图形运动或变化的角度对三角形的特征有更多的认识。这指向于发展学生的空间观念,渗透几何直观的意识。
 
有什么用?
 
    师:我们今天知道了三角形的内角和是180°。学了这个知识,不知道有什么用呢?
    课件出示:“要知道一个三角形三个角的度数,我们需要量几次?”学生有说量三次的,也有说量两次的。课件出现下面两个三角形,已知的度数逐个出现,“?”最后出现,如图6。
    生:我知道了,只要用180°减一下就可求出第三个角。
 

 
    师:运用这个知识,借助推理计算,我们还可以解决以下的问题。
    出示图7,学生独立思考解答,有两种不同的思路,但都是对三角形内角和180°的灵活运用,同时,逻辑推理的思想渗透其中。这个问题的解决,也为本课最后的收尾作了适当的铺垫。
 
 

 
    师:马上要下课了,但相信有同学对课一开始的问题还念念不忘——一个三角形内角和是180°,分成了两个三角形后,内角和各是180°。那么,这个180°是怎么多出来的呢?
 

  
    这时,我出示图8,以呼应开头,释疑解惑。学生带着疑问开始上课,带着答案走出课堂。不过,走出之时,学生带走的难道仅仅是这个答案吗?
 


 
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