顾志能老师《三角形内角和》一课的教学创新
学生都知道了，课怎么上?
——《三角形内角和》一课的教学创新与思考
教《三角形内角和》，不可避免地会面临一个学情——上课前学生都已经知道了相关内容和结论。这是小学数学教学中经常会遇到的现象，这样的课，我们又该怎么去上呢？
一次大型教研活动，邀我上一节课，我特地选了《三角形内角和》。我很想以这节课的“教学创新”，给与会教师提供处理此类课例的一种思路——直面学情，精编内容，巧设过程。
之所以还要说“学情”两字，那是因为在我看来，本课教学前学生的“已知”，是值得我们细细咀嚼的“已知”。
学生知道了什么？——三角形不管什么形状、大小，内角和总是180°。
学生是怎么知道的？——可能是书上见到过，也有可能是在上一册学习“角的度量”时，听老师无意中说起过的。
问题就在这里！——这样的“已知”，是真正的“已知”吗？
当然不是！这样的“已知”，仅仅是表面的“已知”，是意义不大的“已知”。学生知道的只是“三角形内角和是180°”这样一个结论，但他们既没有系统、深刻地经历这个知识形成的过程，也没有通过这个知识的学习积累数学的活动经验，感悟数学的思想方法。学数学，若仅仅记住一个结论，显然是远远不够的。
但是，学生自然无需在意这些，学生只是觉得：“我都已经知道了，这堂课还有什么好学的呢？”因此，无学习的动机，无探究的愿望，一定是学生最真实的思维状态。
学情已经分析清楚，道路也已摆在面前：以怎样的内容来激发学生学习的兴趣，以怎样的过程来引导学生深刻地经历？
“真的吗？为什么？有什么用？”三句板书串成的一堂课开始了……
真的吗？
课前， 黑板上已板书课题“三角形内角和”，并画好了一个三角形。
师：同学们，请看黑板。三角形有三个顶点，三条边，三个角。这三个角叫作内角，每个内角都有度数，三个内角度数的和，就叫三角形的内角和。今天，我们就要学习三角形内角和。关于三角形内角和，你们已经知道了什么？
生：三角形内角和是180°。
生：我们老师说过，三角形内角和永远都是180°。
生：三角形不管什么形状，不管什么大小，内角和永远都是180°。
全班学生没有一个不举手的，回答问题时还略有不屑的感觉。
师：有这样的结论？真的吗？我不信！
师：（出示图1）请问这个三角形内角和是几度？
生：180°。
师：老师在这个三角形中添一条线，分成两个三角形①号和②号。（出示图2）现在将它们分开，（出示图3）请问①号三角形内角和几度？
学生有说90°的，瞬间又改口说180°；也有学生说180°，但显然“口气不硬”。
师：那么，②号三角形呢？
很多人坚持回答180°，但底气更显不足。
师：刚才一个三角形内角和是180°，现在分成了两个，每个还是180°？真的吗？我不信！你有什么办法说服我？
生：老师，那我们量一量，看看到底是几度。
不遮掩学生的“已知”，把学生的“已知”暴露出来，课由此而显得真实、生态。以一个简单的图形变式，“打压”学生的强势状态，表达出教师的“疑惑心理”。真的吗？你有什么办法说服我？主动地测量开始了——这原本是这节课学生最不愿意干的事情。
通过测量，学生发现这两个三角形内角和都是180°。“气”缓过来了！但教师的质疑马上跟进。
师：同学们，世界上的三角形有很多很多，现在凭这两个三角形的内角和是180°，难道你们就敢说“不管什么形状、大小的三角形，内角和永远是180°”？我可不信，你有什么办法说服我？
生：老师，那我们要不每人再画一个三角形，大家画得都不一样，然后再量一量，看看内角和到底是几度。
师：这个办法好像可行，那就让我们再试试吧。
学生都极为认真地画三角形，且故意画得形状很特别，或长或大或斜。然后, 每个人都极为精细地测量着……
为了“说服”老师，学生自己画三角形、自己测量计算，学习的主动性在延续着。若你是个有心的教师，你会发现，一些学生测量之后计算时，会重量、调整某个角的度数——为了凑得180°。看似好笑的举动，不正反映出学生在认真、深刻地经历着三角形内角和“研究”的过程吗？
反馈时，结果是180°的都略过，结果不是180°的我有意呈现了几个。
师：同学们，你们看，这些同学画的三角形，内角和就不是180°。我们前面的结论好像不成立呀？
生：内角和是180°，他们只是量得不准。
生：他们的答案，都在180°左右，说明这就是误差造成的。
生：测量总归是有误差的，哪能量得那么准呢？
师：我承认，测量一定是有误差的。那么，我们现在有没有什么办法来说明，这几个三角形的内角和到底是不是180°呢？
学生要么说再量得仔细一点，要么束手无策。
师：那么，老师也用个办法来量一量？我的量法很特别，不需要量角器，只需要一支铅笔。
我借学生的一个三角形，在展台上边演示边讲解如下过程，如图4。重点是让学生看懂铅笔的转动，实际就是在依次“测量”三个内角。
师：笔尖原来朝着右边的，“量”了三个角之后，朝着左边了。这说明，这三个角的度数之和是多少呢？——180°。
学生看得兴趣盎然，我一声“你们想不想这样再量一下”，教室里一阵“骚动”，每个学生都迫不及待地开始了这样的测量……
师：同学们，现在我们能说三角形的内角和一定是180 度吗？
生：能。
师：我觉得不能！
师：到现在为止，我们前面量过两个三角形，刚才又每人量了一个三角形，这些三角形内角和的确都是180°。但是，世界上难道就只有这些三角形！凭这些三角形，就能说“不管什么形状、大小的三角形，内角和永远是180°”？
学生哑然了。我再次提出：你有什么办法说服我？
生：那我们再来研究更多的三角形。
师：好呀，你们不是课前每人剪了一个三角形吗？要不我们就来研究这些三角形，看看它们的内角和是不是也是180 度？
学生拿出三角形，有人想量角，有人又想转铅笔。我即时叫停。
师：如果不量，不转铅笔，你还有什么办法，来检验你手头的三角形内角和是不是180°？请每人独立思考。
生：(良久) 老师，我有个办法，就是有点残忍，不知道行不行？
学具，要把它撕破后利用，学生从无这种经历，因而觉得“残忍”。我鼓励学生表达想法，邀请学生现场表演一把——三个角完美地拼成一个平角。
师：同学们，你们想不想“残忍”一把？
热烈的气氛再度上演……
“势利”地说，学习三角形内角和的知识，就是为后续的几何学习作铺垫。一个人，将来若不从事与数学有关的工作，这个知识怕是一辈子都用不到，记不记住这个结论更无关系。然而，如上的转铅笔实验、撕纸拼角实验，经历过的学生，一定会在脑海里留下难以磨灭的印迹——数学，竟然如此有趣！这，不正是一种难忘的数学活动经验，一种宝贵的数学学习情感吗？
师：同学们，到现在为止，我们能说“不管什么形状、大小的三角形，内角和永远是180°”吗？
生：不能！因为世界上并不是只有这些三角形！
师：那怎么办呢？世界上的三角形有无数个，这样的实验根本做不完，那我们怎么知道结论呢？
学生都“若有所思”，但无话可说。
师：同学们，当我们通过很多个实验都得到相同结论的时候，我们就可以大胆地猜测，即使再做更多的实验，结论依然相同。这正是数学研究的一种方式！所以，我们完全可以说——三角形的内角和就是180°。
三角形内角和的学习, 是渗透“不完全归纳法”的好时机。此处这样“收场”，既实现了数学思想方法的无痕渗透，更是对前面“我不相信”“你有什么办法说服我”驱动下学生探究活动的一个总结。
为什么？
师：不知道大家有没有思考过，为什么不管什么形状、大小的三角形，内角和却总是180°呢？
学生讨论后，一个学生以三支铅笔搭成的三角形为例，上台介绍想法。
生：大家看，三角形在变形的过程中，有些角会变大，但有些角会变小，所以总和是不变的。
师：那么，难道变大的度数和变小的度数正好抵消，所以总数不变吗？口说无凭，要不我们让电脑来演示一下。
我用几何画板动态演示三角形两次变形的过程 （如图5），每次让学生观察角度的变化，计算角度变大或变小的数量。
生：老师，我发现了，三角形在变形的过程中，那些角的大小会变，但变大与变小正好抵消，所以内角和不变。
待学生都认可后，我再次深入——将一个三角形任意变形，学生更清晰地看到了这样的关系。最后，我将三角形的一个角越变越大，逐步接近180°，学生发，另两个角正越来越接近0°……
这里，我要“特别说明”：这不是三角形内角和的证明！小学阶段无证明的要求，真正的证明要到初中，运用平行线的性质来证明。此处如此设计，只是让学生感受到三角形在变形中，因为三个角相互“制约”，从而导致和不变——这能让学生从图形运动或变化的角度对三角形的特征有更多的认识。这指向于发展学生的空间观念，渗透几何直观的意识。
有什么用？
师：我们今天知道了三角形的内角和是180°。学了这个知识，不知道有什么用呢？
课件出示：“要知道一个三角形三个角的度数，我们需要量几次？”学生有说量三次的，也有说量两次的。课件出现下面两个三角形，已知的度数逐个出现，“？”最后出现，如图6。
生：我知道了，只要用180°减一下就可求出第三个角。
师：运用这个知识，借助推理计算，我们还可以解决以下的问题。
出示图7，学生独立思考解答，有两种不同的思路，但都是对三角形内角和180°的灵活运用，同时，逻辑推理的思想渗透其中。这个问题的解决，也为本课最后的收尾作了适当的铺垫。
师：马上要下课了，但相信有同学对课一开始的问题还念念不忘——一个三角形内角和是180°，分成了两个三角形后，内角和各是180°。那么，这个180°是怎么多出来的呢？
这时，我出示图8，以呼应开头，释疑解惑。学生带着疑问开始上课，带着答案走出课堂。不过，走出之时，学生带走的难道仅仅是这个答案吗？
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