人教版六年级下册“数学广角”之“鸽巢问题”，是教师们教学时感觉比较困惑的问题，由于目标定位不准，很多老师的教学仅仅停留在对“至少数=商+1”这个数学结论的获取，往往停留在抽屉原理模型建构的表面。到底学习这个内容的目的是什么？这个内容的教育价值是什么？值得深入探讨。

    我尝试采用以“创设情境，揭示课题——操作探究，建构模型——综合实践，应用模型——回顾反思，总结方法”这样的学习路径，重在引导学生初步了解数学思想，体验数学思考，培养逻辑思维能力；引导学生借助生活经验和直观活动建立鸽巢定律的一般化模型，增强应用意识，激发数学兴趣。

    为此，将教学目标细化为：

    1．引导学生经历“鸽巢问题”的抽象过程，初步了解“鸽巢原理”并用其解决相关生活中的简单问题。

    2．通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，提高学生有根据有条理的进行思考和推理的能力。

    3．经历从具体到抽象的探究过程，建立数学模型，培养“模型思想”。

    4．灵活应用“鸽巢原理”，提高学生解决数学问题的能力和兴趣。

    下面，结合教学过程分析，探讨如何实现本课内容的教育价值。

 

    一、创设情境，揭示课题

 

    开课，多媒体演示“三桃杀两士”的成语故事。

    师：“同学们，你发现了悲剧必然会发生的原因吗？”

    【设计意图】教师通过问题，引发学生考：“三位勇士争分两个桃子，不论怎样，必然会存在有两人合争一个桃子”，因而悲剧必然产生。这样的设计在聚焦学生注意力的情况下，给了学生一个“抽屉原理”的生活原型，教师的导入语“你知道吗，晏子的故事里蕴含了一个数学知识——鸽巢原理”，让学生觉得“鸽巢原理”就在自己身边，有效提高了学生的学习兴趣。

 

    二、操作探究，构建模型

 

    环节一、经历“鸽巢问题”的抽象过程，提高学生“思考、推理”的能力

 

    活动：摆一摆

    【出示例1】把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。

    师：猜猜，把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔，这个结论究竟是对是错？

    师 ：别急着回答，先摆一摆，摆完后，再谈谈自己的看法。

    【学生操作学具】

    师：“把4支铅笔放进3个笔筒中”一共会有几种不同的方法呢？

    【板书四种摆法的图片（4，0，0 ）（1，3，0）（2，2，0）（1，2，1）】

    【设计意图】通过操作，将抽象的结论具体化，学生获得了“把4支铅笔放进3个笔筒中”的所有情况，让学生获取了支持这个结论所有的实物图像表征，初步感受到这个结论的正确性。操作所获得的体验，为“说理”提供了有力的支撑。

 

    活动：说一说

    师：结合自己的摆放方式，说说为什么“把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔”。

    师：“总是”是什么意思？

    师：“至少”如何理解？

    【设计意图】抽屉原理的教学价值不在于让学生记住具体结论，而在于让学生经历探索结论的过程，因此教师以问题“猜猜，把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔，这个结论究竟是对是错？”为切入口，引领学生步入“证明”的世界。

    教学时，教师要求学生在表达自己的观点时，先说结论，再结合摆法说明理由，引导学生初步经历相对完整的“证明”过程，积累了“说理”的经验，培养学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。紧扣“总是”与“至少”的理解推进教学，引导学生在反复“说理”的过程中，用自己的语言表述出“在所有方法中，必然有一种存在的放法，在这种放法中，放入最多物体的那个抽屉里物体个数的最小限度”这个数学结论，凸显了本课的教学关键。

 

    活动：找一找

    师：你认为“总有一个笔筒里至少有2支铅笔”这个结论，与图几联系最紧密？为什么呢？哪种分发能最快找到结论？

    【设计意图】这个活动是全课的核心。在两个关联性很强的问题引领下，学生的思维越来越清晰：有了前面的数学活动基础，学生瞬间发现“总有一个笔筒里至少有2支铅笔”这个结论与（1，2，1）这种分法联系最紧密，究其原因学生们还会发现“（4，0，0）是运气最好的情况，其次是（1，3，0）（2，2，0），但是不具备普遍性，不能代表全部的情况，而（1，2，1）属于运气最差的情况，运气最差的情况下都能保证‘总有一个笔筒里至少有2支铅笔’，那么其余运气好的情况下，结果一定好过‘总有一个笔筒里至少有2支铅笔’这种情况，因此（1，2，1）这种分发得出的结论，可以代表所有情况，因此，我们只要采用平均分的方法，就能最快发现结论”。

    学生的话语足以表明，面对这样一个离散度很大的问题，他们寻求到了异于其他问题的思考方法和解决途径，能以比较极端的情况来思考，从最不利的角度入手，这样的问题设计，能让学生充分体会抽屉原理这一教学内容的独特思维特征。

 

    活动：试一试

    【出示练习题】

    有5只鸽子，飞进4个笼子，至少会有几只鸽子飞进同一个鸽笼，为什么？

    6个人，坐5把椅子，至少会有几个人坐同一把椅子，为什么？

    有8只鸽子，飞进6个笼子，至少会有几只鸽子飞进同一个鸽笼，为什么？

 

    环节二：经历从具体到抽象的探究过程，建立数学模型，培养“模型思想”

 

    活动：议一议

    【出示例2】把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有有一个什么结果？

    小组合作，完成：

    1．把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个什么结果？把你思考的结果在小组里进行交流。

    2．如果有8本、10本书呢？

    3．像这样的题目，有什么共同特点？如果让你举例，你还能举出相似的例子吗？

    4．你有什么发现，你能用一句话，或者一个算式，表示出你的发现吗？

 

    活动：理一理

    师生交流，分层梳理，引导学生用算式表达自己的思考过程。

    【板书】   至少数= 商+1 （或 商）

      7÷3=2…1           2+1=3

      8÷3=2…2           2+1=3

     10÷3=3…1           3+1=4

      9 ÷3=3                 3

 

    活动：看一看

    【多媒体】学生观看抽屉原理数学史

    【设计意图】在学生充分感悟的基础上，借助丰富的各类抽屉原理表象，以假设法为手段，在获取抽象思维经验的基础上，尝试由形象思维过度到抽象思维，引导学生将所获知识由语言表征转换为数学符号表征，指导学生经历具体问题“数学化”的过程，从而建构抽屉原理（鸽巢原理）的模型：把A个物体放入到N个抽屉中，如果A÷N=B……C（C≠0），那么总有一个抽屉有B+1（商+1）个物体，如果A÷N=B，那么总有一个抽屉中有B个物体。     

 

    三、综合实践，应用模型

 

    1.玩一玩

    【游戏】教师与学生玩扑克牌的游戏，将扑克牌分发给4个小组，每组5人。

    师：把52张牌发给5个同学，会有什么结果呢，谈谈想法？

    师：在这个游戏中，什么是“物体”？什么是“抽屉”呢？

 

    2．想一想

    师：“三桃杀两士”成语典故中，蕴含的抽屉原理什么是，你现在明白了吗？

 

    3.填一填

    （1）随意找13位小朋友，她们中间至少有（  ）个小朋友属相，（  ）是抽屉，（  ）是物体。

    （2）六年级有385人，至少有（  ）人在同一个月过生日，（  ）是抽屉，（  ）是物体；至少有（  ）人在同一天过生日，（  ）是抽屉，（  ）是物体。

    【设计意图】应用上的广泛性和灵活性是抽屉原理的两大特点。习题的设计就是要考察学生面对一个具体的问题，能否用抽屉原理来解决，是否能将“具体情境”和抽屉原理的“一般模型”建立联系，是否能准确判断何为“物体”，何为“抽屉”。

 

    四、回顾反思，总结方法

 

    师：今天这节课，你都有那些收获?

    师：生活中隐藏着许多与抽屉原理相关的问题，我们在解决它的时候要注意什么？

    【设计意图】通过全课反思梳理，再次落实“从学生已有的生活经验出发；让学生经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”，学生获得对知识的理解，技能得以提升，在此基础上使数学思维能力、数学基本思想得到同步的发展，从而提升学生数学核心素养。

 

    为了有效实现本课内容的教育价值，我们反复实践以上教学过程。起初是努力在课堂上追求将例1、例2、例3全部呈现，因为我觉得这是这节课应该要给学生相对较为完整的鸽巢定律的“知识”，然而这样的“追求”，让我的课堂很“赶”，在教学时我会忽略学生学习的真实状况，使本课教育价值打上折扣。

    通过不断反思调整，我最后确定了以上方案，略去例3，只保留例1、例2。

    全课以“两桃杀三士”这个生动有趣的故事为切入点，引发学生浓厚的学习兴趣，之后自然过渡到例1的教学，并将教学重点放在“将4支铅笔放进3个笔筒，不管怎样放，总有一个笔筒中至少会有2支笔”这个结论是对是错的甄别判断上，通过观察和操作，帮助学生深入理解“不管怎样放”“至少”“总有”这些词语的数学含义，让学生尝试将生活问题转化为数学问题；通过“说理”与“证明”，帮助学生建立了“鸽巢定律”与生活实践之间的联系，引导学生深度经历“鸽巢定律”的探究过程，使学生受到数学思想的熏陶。

    在例1的基础上，通过例2的教学，进一步把实际问题“模型化”，并应用“鸽巢定律”的模型加以解决，孩子们通过寻找“相似的生活实例”及“扑克魔术大揭秘”的活动，在分析和对比中完善丰富了“鸽巢定律”的认识，使学生的分析、推理、解决问题的能力得到有效培养，学生在感受到数学的魅力同时，促进了逻辑思维能力的发展，培养了学生探索数学问题的兴趣，获得了数学思想方法上的熏陶。