情境如何撬动了学生的数学核心素养

    ——数学课堂教学中任务设计的视角
 

    教师们对数学问题情境的研究热情似乎正在消退。检索中国知网2014-2015年相关期刊文章，发现大部分文章(131篇中的94.7%)无论在实践的广度还是理论的深度上均比较匮乏，基本集中于对数学问题情境功能价值和创设策略的笼统探讨。虽有一些具体案例，却没有深入思考影响情境使用效果的内在要素，更谈不上有意使用情境潜在理论的倾向。

 

    而数学核心素养作为高热词汇，引发了教师们的极大热情，本文试图从数学课堂中任务设计的视角，重新引起教师们对情境的重视和深度关注——因为情境不是一件可有可无的“外衣”，它深刻影响着学生的数学学习，与培养学生什么样的数学素养密切相关。

 

    一、数学问题情境在学生数学学习中的两难

 

    苏联的B.H.兹科娃曾描述了一个问题的实际背景（即情境）对于学生解决问题的“干扰”现象。

    问题①：在△ABC中，∠A= 80°，∠B= 68°，∠C= 32°，此三角形中哪条边最长？哪条边最短？

    

 

    问题②：建筑中的屋顶人字架之间的夹角等于80°，人字架与房屋侧面上层的水平圆木之间的每个夹角均为50°，现有长度不等的木板，哪儿需要用较长的木板？是与人字架平行的屋顶盖板，还是与房屋水平圆木平行的侧面壁板？

    兹科娃发现，尽管这两个问题实质上都是利用“大角对大边”来解决，但许多学生能顺利解答问题①，却不能用同样的方法解决问题②。

 

    实际上，问题②之所以对学生造成困难，用今天的眼光来看，学生的困难不在于不知道“大角对大边”的数学知识，而是在于承载数学问题的“情境”使用了实际生活中的“人字架”“屋顶盖板”“侧面壁板”等名词，对学生造成了应用知识的“情境干扰”。于是，一些优秀教师在课堂教学中采用一种逐步“隔离”情境的办法，把问题②最终抽象为问题①来解决（下图）。

 

 

    但是，学生自己能否掌握这种“隔离”方法？他们自己是否具备这种“隔离”实际问题为一个数学问题的能力？这种“隔离”情境、抽象为数学问题的能力，是否反映学生的某种数学素养？

 

    在现实的课堂教学中，教师们实际上对情境的使用，基于潜在的经验性的目的，有一种两难的“既爱又恨”的情结。

 

    一方面，情境被频繁地用于激发学生的兴趣、唤醒旧知，有力地支撑了学生学习新知的任务，情境似乎成了帮助学生学习的“脚手架”；另一方面，情境又被教师频繁地“隔离”，以帮助学生认清数学问题的实质，情境“干扰”了学生对新知的应用性学习和巩固，成了学生进一步学习的“绊脚石”。

 

    承载着数学问题的情境在课堂教学中究竟有怎样的作用？我们又该如何正确地认识它？

 

    二、数学问题情境是撬动数学核心素养的支点

 

    1．重新理解情境

 

    情境在《辞海》中被解释为“一个人在进行某种活动时所处的社会环境，是人们社会行为产生的具体条件”。具体到数学中的“问题情境”，是一种以激发学生问题意识为价值取向的数据材料和情境信息，是从事数学活动、产生数学行为的条件。

 

    在PISA 2012测试中，数学为主测领域，数学素养被定义为“个体能够在多种情境中表示、运用和解释数学的能力”，这里要特别强调“在多种情境中”。情境( context)在PISA测试中具有重要地位．被认为是数学素养框架三个维度中的一个重要方面（另外还有内容维度、过程维度），考查的是学生把数学应用到一个镶嵌在情境中问题的解决能力。

 

    所谓情境，就是把问题置于个体所认识的世界的那个侧面。个体是否能够采取合适的数学策略和表征过程，往往取决于问题被提出的那个情境。个体能否在一个情境中运用数学被广泛地认为是对问题解决的较高要求。PISA 2012数学框架定义了如下四种情境类别：个人的( Personal)、职业的(Occupational)、社会的( Societal)、科学的(Scientific)，每个情境类别都拥有不同难度水平的测试问题。

 

    需要指出的是：这些情境类别内在地表达了与学生个体生活由近及远的顺序，即与学生个体生活距离的远近关系，从个人的日常生活所用到全球问题；情境全部来源于现实世界，排斥那些虚构或虚拟的情境。

 

    此外，PISA的测试题目是以单元(unit)的形式来组织的，在每一个单元中，情境单独出现在最前面，是刺激学生的背景材料( stimulus)，然后提出一个个问题(questions)。在广泛的问题情境中挑战学生，或者说多样化的情境类别的使用，确保了评价学生广泛应用数学的真实性数学素荞。

 

    2．情境与数学素养的关系

 

    由于PISA 2012主要测试的是学生的数学素养，因此我们采用PISA 2012数学素养框架中提出的“实践中的数学素养模型”（下图），来进一步理解情境与学生数学素养的关系。
 

 

    在该框架中，首先把数学问题分隔在“现实世界”与“数学世界”两个区域。由于PISA测试中所有的“情境”来源于现实世界真实的背景，因此“情境中的问题”首先是现实生活中的真实问题，学生需要把它转化为数学世界里对应的一个问题，这个转化过程被称之为“形式化为模型”或者“数学化地表示情境”；当转化后的问题在数学世界里运用数学知识和技能得以解决后，学生得到数学结果，还要把这个结果转化到现实世界中，这个转化过程被称为“解释结果”，即回到现实世界来理解“情境中的结果”。

 

    通过上述两次“转化”过程，一个情境中的问题才真正得以解决，而PISA数学素养考查的正是这两种“转化”过程的能力，用弗赖登塔尔的话说，就是所谓“数学化”的过程（这里的数学化既有现实世界到数学世界，也有数学世界回到现实世界的含义）。

 

    由此可见，PISA测试之所以把“情境”看得如此之重要，是因为承载数学问题的情境的存在，它才真实地考查了学生运用数学、解释数学的能力，而这正是未来公民在现实生活中数学素养的集中体现。

 

    如今，对于数学素养、数学核心素养有各种各样的认识。以高中课标组所提出的六大核心数学素养为例，分别是数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析：这里的数学抽象、数学建模分别涉及现实世界与数学世界之间转化的能力，而逻辑推理、直观想象、数学运算、数据分析，更多地涉及在数学世界内部运用数学的能力。从PISA测试的理念视角，这六大核心素养更多地是偏向于“数学家式的数学素养”，而对“合格公民式的数学素养”关注不足。

 

    所以，当我们说到“核心数学素养”时，实际上要追问究竟指的是“谁”的核心素养。是作为未来合格公民的核心素养，还是作为未来数学家的核心素养？有怎样的定位，就有怎样的核心数学素养，这方面的研究仍待深入。但可以肯定的是，剥离了情境的数学素养，可能只反映的是纯粹抽象领域的“数学家”素养，而不是现代公民的基本或核心数学素养。

 

    3．情境的聚焦点撬动了学生的数学核心素养

 

    数学问题的情境，与学生的数学素养有着密切的关系。情境以怎样的方式呈现、情境使用怎样的语言、情境中提出了哪种挑战水平的任务、情境中背景素材的干扰程度，实际上综合起来对学生形成了挑战。以三个典型数学问题的情境为例，看看情境对学生学什么样的数学、想要让学生表现出怎样的数学素养，所带来的结果。

 

    ● L形面积：一节日本的数学课

 

    这节“L形”面积的课在日本数学课程中是一节基础课。课时目标是介绍这样一个概念：矩形排列的面积可以用行数与列数相乘来计算。教师会为“面积”概念设置情境，如榻榻米垫子——指一种传统的稻草席，90cmx180cm，在日本经常盖在地板上，有时候还可以用于刻画房间或较大建筑物的地面面积。教师给学生发放带有图示的工作单，附有两张图片（下图），告诉学生：除了可以数出图形的面积，还需要想出更好的策略。

    

 

    在这节课中，教师使用了方格纸上图形、榻榻米垫子的情境，帮助学生理解为何要求面积。同时，情境中指出“数榻榻米垫子”是一种方法，但问题的聚焦点是“需要想出更好的策略”，即“数”以外的其他方法。学生的聚焦点被引导到了策略上，而不是具体的计算面积。学生可能的解法至少有四种，包括通过移动来重新构成一个长方形，用外围的大长方形减去缺损部分等。

 

    ● 白鸭黑鸭文字题：中国教材里的一组文字应用题
 

 

    在这个数学问题里，9道文字应用题以列表的方式一起呈现，这本身就构成了一种整体出现的情境。除了学生具体计算每一道题目，问题的聚焦点被引导到这9道题目为何如此以行、列的方式排列，并要求学生发现它们之间的联系。在横看（行）、竖看（列）的过程中，强调的是模式识别（整体与部分的关系、加法与减法的关系、差异比较的关系）。

 

    ● 买鞋子：欧洲国家购物题

 

    珍妮和卡利一起去买鞋。珍妮选了两双鞋，一双标价为110元，另一双标价为100元。卡利选了一双鞋，标价为160元。他们去付钱时，营业员告诉他们商店有促销活动，只需付2双的钱就可以得到3双鞋（3双中最便宜的一双可以免费得到）。参加促销活动后，珍妮和卡利各需付出多少元？给出2种不同的方案，并说明哪一个方案更公平。

 

    这个数学问题的情境以纯粹文字（包含数字）的形式出现，看上去需要的知识也非常简单，但问题的聚焦点却是引导学生“给出2种不同的方案”，并比较说明“哪一个方案更公平”。即使是成人来思考这道题目，也会发现虽然需要的数学知识极其简单，但说明“哪一个方案更公平”却有一定的难庋。

 

    例如，卡利付款的各种可能性：90元（所有鞋子价格的1/3）；110元（一共节省100元，每人平均省下50元）；126.67元（一共节省100元，平均每双鞋省下33.33元）；135元（承担参加活动后总钱数的一半）；116.76元（比例推理，卡利的鞋价占3双鞋总价的比率×实际付出的钱）。这个问题情境强调的是决策方案、说理过程，甚至在论述“哪一个方案更公平”时还具有一定的社会协商性。

 

    综上，日本数学课的题目以文字和图形的情境出现，但情境中的问题聚焦的是策略；中国教材上的9道文字应用题以列表式的情境出现，聚焦的是模式识别；欧洲购物题以纯文字的情境出现，聚焦的是说理和决策过程。

 

    所有这些题目，如果剥离掉情境，简化为纯数学题目，可能就失去了培养学生某种数学素养的价值。正是因为情境的存在，特别是情境中所引导的聚焦点，对于培养学生具有何种数学素养更是有直接的影响。可以说，情境是撬动学生数学素养的一个支点。正是因为情境的存在，数学才真正变得有意义，其背后的方法、思想、策略、模式才得以体现。

 

    三、数学问题情境在课堂教学中的功能定位

 

    课堂教学中，究竟如何选择合适的情境来承载数学问题？在前期对小学生群体的一项调研中，我们发现：

 

    第一，在背景素材特征方面，熟悉的背景素材能在一定程度上支持学生分析和解决问题，而陌生或抽象的背景素材则会增加问题的挑战性。

 

    第二，语言呈现方式不是影响学生解题表现的主要因素，但对现实中使用的一些特殊图表以及混合文本，学生缺少有效的分析方法。

 

    第三，语境干扰程度和任务挑战水平联系紧密，是影响学生解题的两个关键因素。学生解决情境与数学高度融合的挑战型任务存在明显困难，表现出与其自身具有的知识技能水平不相称。

 

    总之，不同的情境要素对数学问题的解决有不同性质和不同程度的影响，情境的使用取决于培养怎样的数学素养。

 

    如何解决情境使用中的“两难”？情境在数学课堂教学中到底是“脚手架”还是“绊脚石”，实际取决于数学教学中不同教学环节的功能。假定在一般情况下，数学课堂教学可以分为“新知引入”“知识建构”和“知识运用”三大环节（复习和小结环节暂不探讨），那么我们就有如下建议。

 

    1．新知引入阶段：情境设计以激发兴趣和产生学习新知必要性为主要目的

 

    在新知引入阶段．一般来说需要设计学生所熟悉的生活情境，快速调动学生的学习兴趣。背景素材需要贴近孩子们的生活，包括居家、学校或社区等学生较为熟悉的场景，快速激活学习和生活的链接。

 

    生活情境中的材料语境的呈现需要新颖生动，可以是故事、图片、图表和动画等，吸引注意，激发兴趣，而且语境的干扰要尽可能减少，数学特征尽可能明显，问题呈现尽可能直观。新知引入阶段，数学问题情境设计的目的不仅仅是吸引眼球，情境中所提出的任务更要指向数学学习中的问题，对学生造成认知困惑，从而产生学习新知的必要性。这个阶段的情境，主要是作为新旧知识之间的纽带。

 

    2．新知建构阶段：情境设计以激发新旧知识联系和获得概念性理解为主要目的

 

    新知建构阶段需要创设活动情境，即提供学生操作和体验的背景，让学生在实践中关联已有知识，得出新结论和发现新规律。

 

    因此，活动情境要利于促进学生的主动参与，有利于关键问题的突破，有利于学生思维能力的提升。活动情境的背景素材一般取之于生活情境。活动情境中的问题首先要有方向性，学生得到问题指令后要知道是什么意思，从哪里入手，怎么做，否则小组活动会变成全班躁动。活动情境和数学的融合度宜高，合理选择有关的数学工具和方法也是问题情境的价值之一。教师可以通过学习单、讨论交流等形式，帮孩子搭建必要的探究支架，让孩子有路可循，树立解决问题的信心。活动情境中解题过程和答案最好是开放的，学生有更多探索的空间和思维发散的余地，否则就失去了探究的意义。这个阶段的情境，主要是作为学习新知的“脚手架”来运用。

 

    3．新知应用阶段：情境设计以巩固和应用到现实问题情境为主要目的

 

    知识应用阶段应创设直接面向新知巩固的数学问题情境。这类情境没有生活情境和活动情境那么直观、生动，甚至需要一定程度的“干扰”。但是，情境的所谓“干扰”正是学生经历数学化的契机，可以给学生带来数学有用、数学可以解决现实问题的通透感和愉悦感。

 

    因此，教师要基于孩子的学习规律设计多层次的认知挑战，逐步聚焦到想要培养的数学素养上来。认知挑战水平可以逐步提高，从指向记忆的问题，到指向理解的问题，再到指向探究的问题。这个阶段的情境，更多是考验学生的“绊脚石”，是从信息的简单提取，到有效信息辨别、对应数学模型、解决数学问题，再回归到现实问题解决的一个开放过程，是检验数学素养的手段。

 

    具体到日常的数学课堂教学中，实际上还有一系列引发我们去思考的问题：情境是否需要出现、需要出现怎样的情境？情境采用何种语言来表述、对学生是干扰还是支持？情境是结构良好的还是开放式（发散式）的？情境中提出的任务需要把注意力聚焦在哪里？情境中的任务开展是指向独立完成的还是在互动中完成的？

 

    这一系列的问题可能没有圆满的答案，但的确可以让我们用分析的眼光去解构承载着数学问题的情境的特点。比如，从以下四个方面去理解情境：情境的背景素材特征（来自何种领域）、情境的语言呈现方式（文字、图形或符号）、情境的语境干扰程度（是否对学生造成困难）、情境中任务的挑战水平（认知复杂程度）。

 

    对数学问题情境的设计，甚至检视情境的有效性，除了从情境是否实现教学功能、达成教学目标的角度考虑，还可以考虑从情境设计的四个维度上进一步细化出层级，为不同教学阶段情境的选择和设计提供一个可以参考的层级判断。

 

    （项目基金：全国教育科学规划重点课题“数学问题情境创设有效性研究”(课题编号GIA117010))

    （上海市教育科学研究院，浙江省新思维教育科学研究院）