又去听课，这次是南京市同仁小学，这是小班化试点做得较好的一所学校。

 

    由于临近暑假，所听的两堂课就都属于复习课的范围：一是三年级的“面积单元整理复习”，一是五年级“圆的周长与面积（复习）”。

 

    内容不同，教师当然也有不同的教学风格，因此，两堂课的设计就有一定区别。例如，三年级的课更加注重“重点知识”，任课教师要求学生在课前围绕主题进行了“小研究”；五年级的课则主要集中于具体问题的求解：教师精心准备了一系列的问题（练习题）要求学生在课堂上依次进行解答，包括通过师生问答进行全班性的交流与互动。

 

    当然，因为都是复习课，两者也有不少共同点。例如，这显然就是所有复习课应当共同追求的一个目标，即不应单纯地对学生已学过的知识进行回顾，而是应通过复习使他们有新的提高，如将一些原先似乎互不相关的概念和知识联系起来，从而不仅能够形成整体性的知识结构，也能使学生的认识不断深化；另外，通过问题的适当组合与变化，我们也可帮助学生更好地掌握相关的技能与方法。

 

    事实上，这也正是笔者关于教学中应当如何落实“双基”的一个基本主张：“数学基础知识的学习，不应求全，而应求联；数学基本技能的学习，不应求全，而应求变。”由此可见，复习课就为我们具体落实上述思想提供了很好的平台。

 

    应当强调的是，除去从知识和技能的角度进行分析以外，复习课还应被看成强化数学思维教学的重要契机。

 

    当然，为了做好这一方面的工作，教师首先应切实增强自身在这一方面的自觉性；另外，作为必要的前提，我们又应针对具体的教学内容，清楚地去界定相关的数学思想和数学思想方法。以下就从后一角度，并针对上述两堂课的教学作出具体分析。

 

    第一堂课（面积单位整理复习）

 

    1.这是三年级的任课教师为学生在课前的“小研究”所设计的一个提纲，要求他们围绕这样几个问题去进行复习整理：

    ① 面积的意义；

    ② 面积单位，包括不同单位之间的转换；

    ③ 面积的计算方法。

    笔者在课后的面对面交流中，向这位教师提了这样一个问题：“你为什么要突出强调这样三个问题？”

 

    当然，教材上也是这样处理的，相信大多数教师在具体执教这一内容时也会采取类似的做法。但在笔者看来，只有从思维的角度去分析，我们才能更好地理解这一做法的合理性，从而真正实现由不自觉状态向自觉状态的重要转变。

 

    具体地说，笔者以为，这主要涉及到了“数学化的思想”，即我们应当帮助学生逐步学会“像数学家那样去看待世界，发现问题，解决问题”。

 

    首先，我们在数学中所关注的只是图形的大小和形状，而完全不考虑对象的其他性质，如质地、重量等。当然，就这方面的具体活动而言，我们又应由简单到复杂、由单一到多元地去开展研究，这也就是指，在此我们将主要集中于图形的大小。

 

    其次，这也是数学思维的一个重要特征，即是精确的度量。就我们目前的论题而言，直接反映于以下的发展：如果说面积的概念已包含有“大小”这样一个含义，那么面积的度量则表明了由单纯的大小比较（“怎么比”）向精确的度量（“到底有多大”）的重要发展。

 

    再者，如果说“精确的度量”事实上也正是各种度量问题，包括“线段的度量”与“角的度量”等的共同特征，那么这就是从“面积”的学习开始学生所经历的又一新的重要发展：我们在此所关注的已不再是如何实际地去进行度量（“怎么量”），而主要是“怎么算”，即如何能够发现相应的计算法则。容易想到，这一发展意味着由“动手”转向了“动脑”——如果采取较为时髦的语言，这也就是指，我们在此已不再满足于帮助学生获得关于度量活动的经验，而是更加重视“活动的内化”。而这正是我们何以可能发现面积计算公式的关键环节。

 

    显然，依据上述的分析，我们可清楚地看出：强调将复习课与数学思维更好地联系起来，并非是为复习课的教学增添了一个新的外加成分；恰恰相反，这即是为我们进一步改进教学指明了一个重要的方向：我们应当努力做到用数学思想和思想方法来带动具体知识内容的教学，从而不仅可以使学生的认识得到深化，也可帮助他们逐步学会数学地思维。

 

    由荷兰著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔的以下名言，我们即可更好地理解努力实现上述目标的重要性：对学生而言，与其说学数学，不如说学习数学化。（《作为教育任务的数学》，上海教育出版社，1995，第124页）

 

    2.由于这一堂课是对于长方形、正方形面积和周长的复习，因此教师所设计的“小研究”还包括这样两个具体的计算问题：

    ① 用两个完全相同的长方形（它们的长和宽分别是3厘米和2厘米）拼成一个新的长方形，它的面积和周长各是多少？

    ② 求所示图形（图1）的面积与周长。

 

 

    不难看出，一定的开放性正是这两个问题的共同特点：对于第①题而言，这即是指存在两种不同的拼法；对于第②题而言，则是指有多种不同的解题方法。

 

    教学的开放性当然应当肯定，这可被看成为学生积极、主动地去进行探究提供了现实的可能性。但是，从数学思维的角度去分析，我们在此又可获得哪些启示或教益呢？或者说，我们在此又应如何去进行教学才能更好地实现强化数学思维的教学这样一个目标？

 

    在此特别强调以下两点。

 

    第一，从思维的角度去分析，教学的开放性显然与“多元化”密切相关；然而，应当强调的是，我们首先应清楚地认识到这样一点：数学中对于“多元化”的提倡，其主要的着眼点并非形式上的“与众不同”，而是有无体现出“新的不同的视角或分析思路”。这也就是指，我们在教学中应当切实避免这样一个倾向，即在不知不觉之中将“创新”演变成了“标新立异”。

 

    由此，我们也就可以更好地去理解这位教师在对第①题的求解进行全班交流时所采取的这样一个措施，即其不仅突出强调了这样一点：与面积的情况不同，拼合而成的新长方形的周长并非原先两个长方形的周长的和（因为，这时“去掉”了两条边）；而且也要求学生具体地去指明在不同的“拼合”情况下周长究竟减少了多少。这不仅指明了一种新的计算方法，而且也凸显了这样一个十分重要的数学思想，即是我们应当善于将问题联系起来加以考查，包括适当地对此加以变化。

 

    第二，更为重要的是，数学中并非为了多元化而多元化，更不是越多越好，恰恰相反，这即应被看成“优化”的一个必要前提，而且在很大程度上则又可被看成数学学习的本质所在，即其主要是一个不断优化的过程。也正因此，我们在教学中就应更加重视引导学生对不同的方法进行比较，从而促成必要的“优化”。由此可见，就上述两个问题的教学而言，与单纯的“开放性”相比较，我们应当更为自觉地去突出“优化的思想”，也即不同方法的比较与评价。

 

    第二堂课（圆的周长与面积（复习））

 

    1.作为圆的周长与面积公式的直接复习，五年级的那位教师在课堂上首先要求学生对这两者的计算公式，包括圆面积计算公式的推导过程进行了回顾。然后，作为众多练习题的开端，教师又给出了这样两个较为简单的计算问题：

    ① 已知C＝18.84，求S＝？

    ② 已知S＝12.56，求C＝？

 

    从课堂上的实际情况看，学生在此应当说并没有表现出任何困难；但在笔者看来，即使就这种较为简单的问题而言，我们也只有从思维发展的角度去进行分析和思考，才能更为深刻地去理解相关设计的合理性。

 

    具体地说，无论就圆的周长与面积的计算公式，或是相关的推导过程而言，应当说都具有明显的方向性，即主要表现为一种线性关系（图2）。然而，从思维发展的角度看，我们在教学中则又必须帮助学生建立起整体性的知识结构，而这事实上也正是上述练习的一个主要作用。因为，这不仅包括了思维的逆向运动，而且也有益于在不同概念之间建立更为广泛的联系（图3）。

 

 

    由以下论述，我们即可更好地理解努力促进上述发展的积极意义：

    第一，这正是“民俗数学”研究的一个重要结论，在求解文字题时，大部分未进过学校的成年人都能很好地解决直接的问题，但如果问题的求解需要用到逆运算，解答的正确率就大大降低了，特别是，如果所涉及的数量较大，就更加是这样的情况；与此相对照，通过学校的学习，上述的情况就有了很大改进。（详见另著《数学教育：从理论到实践》，上海教育出版社，2001，第1.7节）

    第二，“理解”在很大程度上就取决于主体知识结构中联系的“数目”和“强度”：“如果潜在地相关的各个概念的心理表征中只有一部分建立起了联系，或所说的联系十分脆弱，这时的理解就是很有限的；……随着网络的增长或联系由于强化的经验或网络的精致化得到了加强，这时理解就增强了。”（赫伯特和卡彭特语。详见另著《国际视角度下的小学数学教育》，人民教育出版社，2004，第3.2节）

 

 

    2.上面已经提及，这堂课的一个重要特点是，教师精心设计了一系列的问题要求学生在课堂上进行解答，希望由此帮助学生更好地掌握相关的知识与技能。从强化思维教学的角度去分析，我们在此又应特别重视这样一点，即如何能够跳出单纯计算的范围并从更为广泛的角度去进行分析与思考，包括引导学生从单纯关注计算结果的对错转而思考另外一些问题。

    以下，就从后一角度提出一些具体建议。

 

    第一，由于所说的各个练习题明显地表现出了由易到难、由简单到复杂的发展趋势，又由于复杂问题的求解往往包含多个步骤，因此随着课程的开展，我们在教学中应当更加突出“序的思想”。这不仅是我们能否顺利地求解较复杂问题的关键，而且在很多数学家看来，这也正是数学思维十分重要的一项内涵。

 

    例如，法国著名科学家、数学家彭加莱就曾指出：“一个数学证明并不是若干三段论的简单并列，而是众多三段论在确定的序之中的安置。这种使元素得以安置其中的序要比元素本身重要得多。一旦我感觉到，也可以说，直觉到这个序，以致我一眼之下就领悟了整个推理，我就再也不必害怕会忘掉任何一个元素，因为每个元素都将在序中各得其所，而这是不需要我付出任何记忆上的努力的。”（《科学的价值》，光明日报出版社，1988，第376页）

 

    按照这样的分析，我们在教学中或许不必要求学生实际地去完成每一道练习题中的全部计算，而是可以更加突出相关的计算顺序，特别是，这更应成为全班交流的重点，也即应当要求学生清楚地去说明各个解题步骤及其相关顺序。

 

    第二，只需稍加注意，我们又可发现这位教师所设计的各个练习题的这样一个特征，即其中的很多数据都是精心设计的结果（如18.84、12.56等）。容易想到，教师之所以采取这一做法，主要地就是为了避免学生在具体计算中花费过多的时间和精力。

 

    但是，这一做法显然也有其一定的局限性，特别是，所说的“简化”毕竟表现出了很强的“人为性”。也正因此，以下的做法就应说更加合理，即是我们不妨让学生具体地去感受一下实际计算的繁琐性，并引导他们进一步去思考什么是造成这一现象的主要原因。显然，在这样的基础上，教师再提出这样一个问题就十分自然了：我们又如何能对所说的计算过程作出适当的简化？而这当然也是“优化思想”的具体体现。

 

    具体地说，由于这里所说的“繁琐性”主要就是因为其中直接涉及到了π这样一个无理数，而相关问题的求解往往又同时包括了“•π”与“÷π”这样两个步骤，因此我们在此就无需每次都实际地去完成相关的计算，从而在整体上对计算过程做出简化。

 

    第三，正如人们普遍认识到的，对于“估算”的强调也是新一轮数学课程改革的一个重要特点；但在现实中，我们却又可以经常看到这样一种弊病：人们往往只是在进行“估算”的教学时才会想到这样一点，除此以外则很少会想到。这正是数学教学所应特别重视的一个问题，即如何能将“估算的思想”更好地渗透于日常的教学活动之中。

 

    更为具体地说，由于这一堂课中学生面临大量的计算问题，因此我们在教学中显然也就特别注意“估算思想”的渗透，因为，不然的话，就很可能在不知不觉之中进一步强化了在学生中所经常可以看到的一种思想：“精算”肯定要比“估算”好。

 

    例如，教师在教学中所提到的以下问题，就可被看成为我们具体渗透“估算思想”提供了良好的契机：

 

    “甲乙两人同时同速从A地到B地，甲沿实线所示半圆形路线行走，乙沿虚线所示两个半圆形路线行走，谁先到达B处？”（图4）

 

 

    当然，在必要时，教师在此也可给出直接的提示：“我们是否真的需要实际去从事相关的计算？”乃至“究竟算到什么程度最为合适？”

 

    应当指出的是，后一问题清楚地表明了这样一点：与单纯地强调“估算”相比较，我们事实上应更加重视对于“估算”与“精算”之间辩证关系的认识，特别是，应当善于根据不同的情况与要求，灵活地去应用“估算”与“精算”。

 

    最后，还应强调的是，尽管我们在此突出强调了将复习课与数学思维更好地联系起来的重要性，但这恰好正是教学工作创造性的一个重要方面，即我们如何能够根据学生的具体情况，很好地去把握适当的“度”。

 

    更为一般地说，这也就是指，就数学思维的教学而言，我们不仅应当做好“清楚的界定”，即清楚地去指明在小学的各个阶段我们究竟应当帮助学生初步地去掌握哪些数学思想和数学思想方法，而且也应根据学生的认知发展水平对此作出合理定位，包括逐步去实现如下的几个过渡：由“深藏不露”逐步过渡到“画龙点睛”，再由“点到为止”逐步过渡到“清楚表述”，直至由“教师示范”逐步过渡到“主要促进学生的自我总结与自觉应用”，等等。