张开孩子想象的翅膀，还原数学创造的本真

            ——谈“线段、直线和射线”的教学

            广东中山市教研室   刘 燕

 

   一、童言无忌有思量，从几个教学片断谈起

   片段一：再怎么延长，它上下也有两个圆圆的面!

    执教老师用金箍棒引入直线。教师展示动画视频：金箍棒变长、变长、再变长。

    师：我们把它看作一条线，它无限长，没有端点。

    生：(自言自语)再怎么延长，它上下也有两个圆圆的面！

     
    片段二：光线不见了！

    执教老师用手电筒的光引入射线。教师打开手电筒，将光照在黑板上、照在墙壁上，让孩子们观察光线形成的线段和端点，最后教师将手电筒的光射向了窗外。

    师：现在它怎么样了?

    生：不见了。

    师：它无限延长，射向了遥远的宇宙，它有无限长。

    生：(自言自语)它都没有了，还说无限长！

   
    片段三：直线像金箍棒一样！

    巩固环节，一位老师请学生说说什么是直线。一个学生说：“直线可以很长也可以很短，可以是5厘米，可以是10米，还可以无限延长。”课后，我对全班学生进行了测试，判断这句话是否正确。结果，47个学生中有38个学生判断这句话正确，理由是直线可以随便延长，有的学生还特别强调：“直线就像金箍棒一样，可以变长也可以变短。”

    以上片段中，那些表面上看起来不配合老师的无忌童言引发了我的思考，问题出在哪儿?静心分析，我发现，在小学几何教学中，线段、直线、射线是一个非常特殊的内容，由于其特殊之

处，导致一般图形认识的教学方法在本节课可能并不适用。

   
   二、小学几何教学中的特殊内容——线段、直线和射线

   特殊之一：生活中不存在射线和直线。

    与其他几何图形不同，直线和射线在生活中是不存在的。《西游记》中的金箍棒，首先它并不是现实生活中的物品，只存在于神话世界；其次，正如孩子所言，再怎么延长，它上下都有两个圆圆的面，与直线没有端点的属性不符，金箍棒可以任意变长、变短的属性与直线无限长的属性也并不相同。

    如果说长方形、正方体、角等图形是根据现实生活物品的形状抽象建立的几何图形概念，那么，射线、直线则是根据现实生活物品的形状抽象出来，再进行想象、加工、发展才建立的几何图形概念。其过程是：将现实生活中直的线抽象出来，建立线段概念，再在线段的基础上，对其属性加以变化，经过想象、创造，建立新的几何图形概念——射线和直线。正因如此，如果教学射线和直线也遵循其他几何图形认识的方法，想从现实生活中直接抽象出直线、射线，再返回到现实生活中寻找直线、射线，就变得很艰难了。

 
    特殊之二：图示与实际不符。

    首先，学生之前认识的几何图形，其图示与形状都完全相符，可是线段的图示与其形状不完全相符。以下是我对一个二年级孩子的访谈：

    师：你能告诉我线段是什么样子的吗?

    生：线段是一横，然后两边有两条小竖线。

    师：那两条小竖线表示什么你知道吗?

    生：不知道。

    线段的实际样子两边肯定不会有小竖线，图示中线段两头的小竖线在线段的形状中并不存在，画两条小竖线只是为了表示端点。尽管在2011年版的人教版小学数学教材中，将两条小竖线改成了两个小圆点，可是现实生活中线段两端的形状也不存在两个小圆点，小圆点只表示位置，并不表示形状。

    其次，其他几何图形的图示都可以完整画出图形的全部，可是直线和射线是画不完整的，由于其无限长，直线和射线都只能画出一部分表示它。最后，表示直线的图示，其形状却与生活中所见的线段是一样的。

  线段、直线、射线图示的特殊性，使得借助图示抽象建立线段、直线、射线概念可能造成错误的认知，例如，在变式练习中学生常常认为直线或射线是有限长的，就与图示的误导有关，因为画出来的直线或射线图示本身是可以测量的。

   特殊之三：数学名称与生活名称相悖。

  “直线”这一名称在生活中和数学中有着不同的内涵。生活中人们将线分为“直线”和曲线，凡是直的线都叫“直线”。由于生活中所有直的线都是长度一定而且可测量的，所以严格来说，生活中人们所说的“直线”实际上都是数学中的线段。与生活中直的线不同，数学中直的线包含有“无限长的”和“有限长的”，依据其长度、端点的情况，分为了直线、射线与线段。数学中所说的“直线”无限长、没有端点，其内涵不仅与生活中所说的“直线”不同，而且，在生活中并不存在。

由于线段、直线和射线的特殊性，使其教学如果依旧遵循其他几何图形认识的教学方法(从现实生活中举例抽象、返回现实生活寻找实际例子、运用图示认识图形等)，变得不可行，生活中的例子、图示会干扰学生的思维和认知。教学线段、直线和射线需要超越现实生活意象，让孩子张开想象的翅膀。

   
    三、超越生活，张开想象和创造的翅膀

   环节一：超越现实的想象。

    师：同学们都看过《西游记)，你最喜欢西游记中的哪个人物?

    生：孙悟空。

    生：他很厉害，会翻筋斗云，还会七十二变。

    师：现实生活中有孙悟空吗?

    生：没有!只有猴子。(笑)

    师：孙悟空有很神奇的兵器，是什么?

    生：金箍棒，可以变长也可以变短。

    师：生活中有金箍棒吗?

    生：没有!只有木棍。(笑)

    生：生活中也没有猪八戒，只有猪。(笑)

    师：是啊，借助神奇的想象，作家可以创造出生活中并不存在的文学形象，写出精彩的文学作品。其实，不仅作家需要想象，数学家同样需要想象，这节课，我们就一起进行数学的想象和创造。

     
    环节二：借助想象，认识射线和直线。在复习和进一步认识归纳梳理了线段特征 之后,教学射线和直线。

    1.认识射线。

    (1)建立射线直观表象。

    师：线段在生活中处处可见，它们都是直的， 都有两个端点，一个是起点，一个是终点。可是数学家想象创造了一种神奇的线，这种线也是直的，你猜，它有可能神奇在哪儿?

    生：它只有起点，没有终点。

    师：猜对了!闭眼想象一下，一条神奇的线，直的，只有起点，却没有终点....告诉我，你想象的这条线是什么样子的?

    生1：它很长很长，长得望不到头。

    生2：它长到宇宙中去了。

    生3：它钻到地底下去了,深得见不到底。 

    师：我们一起来闭眼想象、比画一下这条线， 想比画什么方向的?

   生：横着的。    

    师：好，我们先来想象一条从左往右的。 

    师生齐：起点，唰……

    (师生边说边书空：从起点向右延伸出去) 

    师：到了终点吗?

    生：没有。

    师：到了终点吗?

    生：没有。

    师：找得到终点吗?

    生：找不到。

    师：让它继续飞，我们回来。

    师：我们再一起来闭眼想象一条竖着的。 

   师生齐：起点，唰……

   (师生边 边书空：从起点向上延伸出去) 

   师：到了终点吗?

   生：没有。

   师：找得到终点吗?

   生：找不到。

   师：你还想和它一起飞下去吗?

   生：不想。

   师：为什么?

   生：没有终点，一直飞下去就回不来了! 

   师：还想比画一条什么方向的?

   生：斜着的。

   ……

   (2)归纳概括射线的特点。

   师：我们跟随数学家想象出来的这条线有什么特点?

   生1：是直的。

   生2：只有起点，没有终点，也就是只有一个端点。

   生3：无限长，无法测量。

   (3)射线的名称。

   师：如果给这条线起个名字，你认为叫什么线? 

   生1：神线，因为没有终点。

   生2：无限长线。

   生3：射箭线，它像射箭一样射出去。

   师：数学家和你们想得很像,给它起了一个名字，就叫——射线(板书)。

   
    2.认识直线。

   (1)建立直线直观表象。

   师：射线已经够神奇了，可是数学家还想象创造出了一种更神奇的线，这种线也是直的，你猜，它又神奇在哪儿?

   生：它连起点都没有了，没有起点，也没有终点。 

   师：猜对了!闭眼想象一下，一条神奇的线，直的，没有起点，也没有终点……告诉我，你想象的这条线是什么样子的?

   生1：它很长很长，往上钻到云里面去了，往下钻到地底下了。

   生2：我想象的是斜着的，起点和终点都没有，两边望不到头。

   生3：我想象的是向左右两边伸展的，彩虹色的。

   师：我们一起来闭眼想象、比画一下这种线， 想先比画什么方向的?

   生：横着的。

   师：好，我们先来闭眼想象一条横着的，唰…… 

   师：向左看看，看到了起点吗?

   生：没有。

   师：向右看看，看到了终点吗?

   生：没有。

   师：还想比画什么方向的?

   ……

   (2)归纳概括直线的特点。

   师：这条更神奇的线有什么特点?

   生1：是直的。

   生2：没有起点，也没有终点，一个端点也没有。 

   生3：无限长，无法测量。

   (3)直线的名称。

    师:如果给这条线起个名字,你认为叫什么线? 

   生1:长又长线,因为没有起点也没有终点。 

   生2:双射线,它向两边延伸出去。

   师:你们创造力真强，想得很有道理，不过这次数学家不如你们,数学家给这条神奇的线起了一个非常非常普通的名字——直线(板书)。 

   生:啊!

   师:这个名字普通吗?

   生:太普通了,小时候就经常听到。

   师:不过生活中我们所说的直线和数学中所说的直线一样吗?

   生:不一样!生活中说的直线都有起点和终点,而数学中的直线无限长。

   师:是啊，生活中把线分为直线和曲线,凡是直直的线都称为直线，生活中所说的直线都是有一定长度的,其实都是线段,而数学中所说的直线,在生活中是不存在的。

当孩子说出“长到宇宙中去了”“钻到地底下去了,深得见不到底”“彩虹色的”,这么细致的描绘,让我相信孩子们真的借助想象建立了射线和直线的直观表象。教学到此,还有一个问题没有解决,那就
是“图示”,为了避免图示对本质属性的干扰，图示教学放在了建立直观表象和完整认识特征之后进行。 

    环节三:创造图示的表示方法。

    师:线段、直线、射线都是直的，应该用怎样的图表示才能让人知道你表示的是哪种线呢?请发挥你的创造力,在练习本上画一画,试一试。 

    1.展示学生作品一(文字标注)。

    师:根据他的表示方法，你能区分出这三种线吗?

    生:能,那个一边写了“继续长”的是射线,两边写了“继续长”的是直线。

    2.展示学生作品二(没有文字，射线和直线 画到了本子边上)。

    师:他一个字都没写，你还能区分出这三种线吗?

    生:能，那个一边把本子画穿的是射线，两边把本子画穿的是直线。

    师:你为什么把本子都画穿了?

    生:因为它很长。

    师:你把本子都画穿了，画完没?

    生:没有。

    3.展示学生作品三(标准画法)。 

    师:你们有什么想问他的吗?

    生:你怎么把线画得那么短?

    师:是啊,人家嫌本子不够大,把本子画穿了都不能画完，你怎么画得这么短?

    生:看端点就可以区分,我没有画穿你们也区分得开呀!

师:同学们认为呢?

生:反正画穿了也画不完，不如节省些本子好了!

    (全班赞同,笑)

    师:由于射线、直线是无限长的，无法完整描画出来，我们只能画出它们的一部分来表示，用端点加以区分,这样更简洁。

     
   四、初步感悟数学想象和创造的价值

    在引导学生领略了数学想象和创造的奇妙之后，更应让学生感悟数学想象和创造的价值。于是我设计了以下环节。

    环节四:数学为什么要想象和创造。

    师:数学家为什么要想象创造出“直线”和 “射线”呢?

    (课件出示数轴图)

    师:这个数轴表示出了0~5,它是一条——

    生:线段。

    师:比0大的数有多少?

    生:无限多。

    师:如果我想将比0大的数都表示出来,需要一条什么线?

    生:射线。

    师:今后我们还会学习比0小的数，可以表示在0的左边，也有无限多，如果要把这些比0大和比0小的数都表示出来,需要一条什么线? 

    生:直线。

   (课件出示表示时间的线段图)

    师:这条线段表示出了开始上课到现在的时间， 如果将以后的时间都表示出来,需要一条什么线?

    生:射线!因为直到下课、放学、长大、变老…… 时间会一直继续下去,没有终点。

    生:如果将以前的时间也表示出来,就需要直线了! 因为以前的以前还有以前，时间没有起点也没有终点。

    师:直线和射线的作用还有很多,数学家的想象和创造是为了解决数学或生活中的问题，数学也需要想象和创造。

    以上环节除了用数轴(即数的无限性)帮助学生更好地理解射线、直线的无限性，还利用了时间的无限性(时间既没有终点也没有起点)帮助学生理解。

事实上，这两个例子的安排与其说有助于学生更好地理解直线与射线这样两个概念,不如说是为了让学生更好地感悟到，正是直线与射线这两个概念的创造让我们更好地说明了数与时间的无限性。也正是从后一角度去分析,我们就可以很好地理解以下的论述。如果“无限的直线”这一概念的发明可以归功于某一个人的话,那么这位发明家就可以自豪地说:“我根据能摸、能扔、 能摘的许多具体的物体完成了这样一个自觉的思维过程。我的后代将因为我想象出了无限的直 线而感谢我，因为借助于这样的直线去认识世界，将比没有它要方便得多!”【1】

    数学源于生活又超越生活,“尽管很多数学概念都有明显的现实原型，但是，数学概念的形成又往往包含了理想化的过程，从而就是一种真正的思维创造。”【2】由于数学抽象是一种建构的活动,后者在一定程度上意味着与现实的分离，因此,这也就为思维的自由想象提供了更大的可能性。”【2】

    数学的想象可以看作一种思维的创造,因而数学的创造与创新有其特殊之处——超越现实的羁绊和局限,这种想象和创造对数学的学习与研究起着重要的作用。“如果超出初等数学的范围,我们就会更多地接触到这样的‘理想元素’， 即这样的数学对象，它们似乎仅仅凭借‘数学的自由创造和想象’得到了建构。”“就如列宁所指出的:‘幻想是极其可贵的品质’，‘有人认为只有诗人才需要幻想,这是没有理由的，这是愚蠢的偏见!甚至数学上也需要幻想’……【2】

    我们在教学中既要联系生活教学,也要超越生活引导学生适当感悟,从而帮助学生从“生活数学”走向“学校数学”，发展数学想象的能力,认识数学创造的本质。“射线”“直线”概念的引入和建立就是很好的契机。

   

  参考文献:

   [1]郑毓信.数学方法论入门[M].杭州:浙江教育出版社,2006.

   [2]郑毓信.数学思维与小学数学[M].南京: 江苏教育出版社,2008.

   (感谢郑毓信教授为本文提出了修改意见)