“好吃又营养”的数学课，从哪里来

——以《用字母表示数》为例

      

    《用字母表示数》是人教版五年级上册第五单元第一课时教学内容，在教学这节课之前，我们需要思考如下几个问题：学生为什么要学习用字母表示数？在学习“用字母表示数"这一内容之前，学生是用什么来表示数的呢？教材呈现的素材有哪些？我们该如何设计教学活动呢？

 

    一、教学起点的拷问

 

    学习“用字母表示数”这一内容之前，学生是用什么来表示数的？

    显然,学生在学习“用字母表示数”之前，都是用数字表示数的。可能会有部分老师对“用数字表示数”感到疑惑，因为我们在小学数学教材中从没有出现过这样的内容。事实上，从20以内数的认识，到百、千以内数的认识，再到较大数的认识，都是在学习“用数字表示数”。

    什么是用数字表示数呢?

    比如学习一年级上册“1到5的认识”一课时，当图中数到某一物体的数量是5的时候，我们可以用罗马字“V”、可以用汉字“五”、也可以用算筹“—或丨”、还可以用英文“five”或阿拉伯数字“5”表示。（10以上的数只是数字表示加十进位置制）换句话说，同一个数可以因人而异选择不同的数字符号来表示。

    而学生在学习这节课之前，所经历的数都是明确的，理所当然选择用数字来表示。而这种“理所当然”成为他们学习“用字母表示数”的心理沟壑，如果成功跨越，从此“对数的认识”便迈上一个新的台阶，为初中数学学习奠定基础，即实现从“算术思维”向“代数思维”的过渡。

 

    二、教学目标的思考

 

    既然学生用数字表示数简单又明了，为什么要学习用字母表示数呢？

    学生对“用字母表示数”的学习其实是一个从“用数字表示数”到“用字母表示数”的发展过程。那么，这个发展过程的核心是什么呢？它的核心在于在这个认识链的节点上，“数”发生了变化。从前的数都是确定的，所以用数字表示；这个认识节点上的数是不确定的，无法表示为具体的数字，于是选择用字母表示。具体是数字几，有待明确。

    那么，“用字母表示数”这节课应该达到如下教学目标：

    第一、让学生感受因为“数”的不确定，无法用一个具体的数来表示，从而体会到用字母表示数的必要性。

    第二、理解用字母和含有字母的式子表示数的意义，以及体会用含有字母的式子表示数的优势。

    第三、经历把实际问题中的数用字母和含有字母的式子进行表达的抽象过程，发展学生的符号意识和代数思维。

    其中教学重点是体会“数”发生变化了，将实际问题的数用字母或含有字母的式子进行表达。教学难点是体会含有字母的式子表示数的优势（含有字母的式子表示的两种含义）。

 

    三、教学活动的实施

 

    （一）教学素材的分析及评价

    选取了苏教（2013），北师（2013）和人教（2013）三个版本的教材进行了分析：

    人教版教材分析：
 

 

    教材选取了小红和她爸爸的年龄问题作为教学素材：小红1岁，爸爸31岁；小红2岁，爸爸32岁；小红3岁，爸爸33岁……教材一目了然地呈现了小红某一年的年龄和她爸爸对应的岁数，让孩子直观感受到了两者年龄关系。另外，年龄问题是孩子们非常熟悉的素材，利于学生的数学学习。

    但年龄问题的素材却有它天生的局限：不管过多少年，小红的年龄对于小红来说都是一个具体的，确定的数，所以这份素材是无法让学生体会到用字母表示数是因为数由“确定”到“不确定”的变化，也就无法体会到用字母表示数的必要性以及用字母表示数的意义。

    教材对于“用字母表示数”采用直接告知的方式：用字母a表示小红的年龄，对学生来说仍然是一种记忆和背诵的知识，在运用中只会是一种模仿。

 

    苏教版教材分析：

 

    摆1个三角形用了3根小棒，摆两个三角形用了2×3根小棒，摆三个三角形用3×3根小棒……学生能在动手操作中直观感受用的小棒根数与摆的三角形个数间的关系。

    与上一素材相比：这份素材研究的是乘法关系，对于用字母表示数的产生过程以及意义仍然未能让学生体会到：直接问a个三角形的小棒根数是多少，即直接用含有字母的式子表示数，仍然属于机械模仿。

    北师版教材分析：
 

 

    这一份素材是从孩子耳熟能详的儿歌入手，让孩子在感受永远也说不完，永远也写不完的情况下，我们能否用一种恰当的方式来表示出所有的情况呢？与上两份素材相比，孩子对数由确定到不确定的变化是有所体会的，即对字母表示数产生的必要性及意义都有体会。与此同时，通过用字母或含有字母的式子来表示数的过程中进行优化，突出用含有字母的式子来表示数量的优势，所以这份素材是比较适合孩子学习的。

    但是，由于孩子是初次学习用字母表示数，面对同一问题情境中需要用多个含有同一字母的式子来表示不同的数量，其难度还是比较高的。

    综合上面三份材料，第一份和第二份学习材料无法帮助学生体会“用字母表示数”中“数”的变化，也就体会不到用字母表示数的必要性及用字母表示数的意义了。第三份材料利于学生体会“数”的不确定，同时还能让孩子在对比中体会含有字母的式子的含义，且材料是学生熟悉，原则上是一份非常不错的材料。但考虑到孩子首次学习用字母表示数，一下子要写出几个含有字母的式子，其综合性就增加了孩子的学习难度，而情境的综合性不是本节课要解决的重点。

    那么，基于以上学情、目标和教材分析，我们需要选取一个什么素材进行行之有效的教学呢？我们从素材选择，教学活动的实施方面进行了大胆尝试和创新。

 

    （二）教学活动的实施与思考

 

    环节一：魔术激趣，引发认知冲突

    1.介绍魔术的玩法，调动学生的学习兴趣。

    孩子们，喜欢看魔术表演吗？

    老师今天就带来了一只神奇的魔盒：只要你在魔盒的左边输入一个数，这个数就会自动飞入魔盒，然后摇身一变，变出一个全新的数来！

    你们想玩玩儿吗？
 

    2.师生玩魔术，发现数量关系。

    你想输入多少？（生输入一个数）孩子们，见证奇迹的时刻到了！

    能输入一个大一点儿的数吗？（生输入一个数）这次会出来多少呢，让我们拭目以待吧！

    我们还学过小数，谁来输入一个小数？（生再输入小数后问）猜一猜这次可能会出来多少？（3个生猜测）到底猜得准不准呢？答案马上揭晓！（猜对的举手）

    （如果猜对的人不多，可以多玩一次）

    采访一下：为什么（这次）你们就猜得那么准呢？（生说：我发现输出的数比输入的数多了10）

    真的如他所说吗，验证一下！果真如此！

    （2）感受写不完

    想一想，如果我们一直玩儿下去，你认为魔盒的左边可以输入哪些数？（整数、分数和小数或任何数）这样的数有多少个？输出的数呢？你们写得完吗？

    【设计意图：通过在魔盒中输数这样一个游戏，点燃学生的学习热情，激发学生的学习兴趣，让学生在游戏活动中感受输入和输出的数可以是任何数，永远也写不完，同时还能直观感受输入和输出的数之间的数量关系。】

 

    环节二：探究问题，层层深入，体会字母及含有字母的式子的意义

    那么，能不能用一种简洁的方式，把所有输入和输出的数都表示出来呢？

    自主探究用字母和含有字母的式子表示不确定的数
 

    1.学生独立思考并在纸上表征自己的方式。
 

    2.学生独立学习，教师巡视收集情况并请生上台板演。

    学生的情况预设：

    ①输入和输出的都是一个具体的数。

    ②输入和输出的都是“任何数”。

    ③用了不同的两个字母来表示。

    ④输入任何数，输出任何数＋10。

    ⑤输入a，输出a＋10一类。

    ⑥用相同的两个字母表示。

    ……
 

    3.比较辨析，排除不合理，找到最优方式

    哇，孩子们一下子写了1.2.3.4……种想法在黑板上，（编号）这些方法中有没有你认为可以直接pass掉或者你觉得没道理的？（学生发表自己的看法后引导学生将关注的焦点放到用字母表示的几类。）

    （1）理解字母表示不确定的数

    A．请孩子们仔细观察，这几种表示方法有什么共同的地方？怎么就想到用字母来表示呢？（突出核心：有无数个符合的数，但又不知道具体是哪一个）

    B．师介绍数学中的经常用字母来表示数。

    是的，像这样输入的是一个不确定的数时，（板书：不确定的数）数学中常常就用字母来表示（板书：字母）（强调：且常用小写字母来表示）这也就是我们今天这节课要学习的内容——用字母表示数（板书课题）

    谁来说一说，数学中通常用字母表示哪样的数？

    （2）理解含有字母的式子表示不确定的数和数与数间的关系

    A．这几种表示方法有什么不同的地方？（对比中去掉用相同字母表示的情况）

    B．你更喜欢哪种表示方式？为什么？（突出可以看出两数间的关系）

    C．字母能表示不确定的数，含有字母的式子也能表示不确定的数吗？（突出核心：因为a不确定，加上10得到的和也是不确定的数）

    D．师介绍字母式表示不确定的数

    是的，像这样当两个数存在一定关系时，一个数用字母a表示了，另一个数就可以用含有a的式子来表示。（板书：a＋10 含有字母的式子），

    它不仅能和字母一样，表示不确定的数，（板书：不确定的数）还能清楚直观地看出两数间的关系，（板书：数与数间的关系）

    （3）感受字母的简洁性

    还有哪种表示方法与“a＋10”的意思一样？（对比“任何数＋10”和“a＋10”）

    你更喜欢哪种？

    （学生可能会质疑用两个不同字母的方法也不合理，这里可以买个关子。到练习中处理。）
 

    4.进一步发展符号意识。

    （1）想一想：输入的数除了用字母a来表示，（板书a）还可以用其他哪些字母来表示呢？

    小结：26个字母中任何一个字母都可以表示输入的数。

    还可以是其他符号吗？

    （2）当输入的数是b，输出的数是多少？输入m呢？输入x呢？
 

    5.进一步理解含有字母的式子的含义

    当输入x（切换课件）

    （1）如果输出的数比输入的数少10，.输出的数是（）。

    （2）如果输出的数是x-20.这两个数什么关系？

    （3）如果输出的数是输入的数的一半，输出的数是（）。

    （4）如果输出的数是输入的数的4倍，输出的数是（）。
 

    6.介绍字母与数相乘的简写。

    看到这个字母式，你会产生什么错觉吗？

    是的，数学王国里乘号和字母X是长得太像了，人们经常将它们混淆，给生活带来了许多麻烦。后来数学家们做出如下规定：（自己读一读）

    字母与数相乘时，乘号可以省略不写。但省略乘号时，一般把数写在字母的前面。

    读懂了吗？

    那么刚刚的4×x 和x×4该怎样简写？

    课件出示 4×x=4x  怎样想的？

         x×4=4x

    是的，无论是4×x还是x×4，省略乘号时都要把数放到字母的前面，简写成4x。

    根据规定，你会简写下面的字母式吗？（先将答案写在练习本上）

    3×m   25×c  b×1 （突出数学的简洁美） a＋a（这个字母式还能简写吗？）

    【设计意图：当学生感受到输入和输出的数永远也写不完的情况下，自然就会思考：能否有一种方式把所有输入和输出的数都表示出来呢？接着让学生独立思考创造，这对学生来说既是一种挑战，也是新知的生长点。在充分暴露学生学习思路和学习起点的情况下，让学生在比较辨析中逐渐清晰地知道：数学中当数已经不确定的情况下，无法用一个具体的数来表示的时候，就用字母来表示；当两个数存在一定数量关系时，一个数用字母表示了，另一个数还可以用含有这个字母的式子来表示，并进一步感受字母的简洁性和发展学生的符号意识。】

 

    环节三：巩固练习，深化认知

    瞧，你们多会学习呀！一个简简单单的魔术表演，就让你们学到了这么多的知识！为自己的精彩表现鼓鼓掌吧！

    那么，到底学得怎么样呢？有信心接受检测吗？
 

    1.年龄问题

    （1）出示本人照片：这是谁？我的年龄你们知道吗？怎么表示？（出示x）想一想这里的x可以是哪些数？预测一下，陈老师最大能活多少岁？

    小结：看来字母虽然可以表示任何数，但有时只能代表一定范围的数

    （2）这是我儿子，他的年龄也未知，你还能再用x表示吗？（同一问题中不同的数要用不同的字母表示），为什么不用含有字母的式子表示呢？（处理：当不知道两数的关系时，就只能用字母来表示了）

    如果我告诉你：他比我小25岁，他的年龄还可以怎么表示呢？

    （3）课件出示：当老师30岁时，我儿子多少岁？我31岁时呢？当我儿子3岁时，老师多少岁？1岁时呢？

    小结：只要知道其中一人某一年的岁数，就能求出另一个人对应这一年的岁数。

    观察上面这些数，无论陈老师和我儿子的岁数怎么变，但我们岁数之间的什么不会变？（出示省略号）

    （4）还一位神秘人物比我大2岁，他的年龄又该怎么表示呢？

    如果用X岁表示我儿子的年龄，老师和这位神秘人物的岁数又该怎么表示呢？同样是这位神秘人物的年龄，为什么一会儿用(X＋2)岁表示，一会儿又用（X＋27）岁表示呢？

    小结：看来，弄清x表示谁的年龄很重要。

    【设计意图：让在孩子熟悉的年龄问题，进一步感受字母表示数的意义：理解同一问题中不同的数要用不同的字母来表示，不同问题中相同字母可以表示不同的数；字母在特定环境中只能代表一定范围的数，并在此情景中变中不变的函数思想。】

 

    2.魔术道具店的问题

    陈老师的儿子带了b元钱去购买魔术帽，每顶帽子c元，他打算买5顶。

    （1）根据以上信息你能写出哪些含有字母的式子呢？

    （2）能说一说它表示什么意思？（5c表示什么？b–5c表示什么？如果需要的钱比带的钱多时你会遇到什么尴尬呢？会想到哪个字母式？不过，等你们上中学后不论是求剩下的钱还是差多少钱，都可以用b–5c一个式子搞定。

    看来，字母和以前学习的数一样，既可以比较大小，也可以进行四则运算。想知道世界上第一个使用字母表示数的人是谁吗？

 

    环节四：数学文化介绍

    知道世界上第一个使用字母的人是谁了吗？

    是啊！多么伟大的数学家呀，因为他的杰出贡献，让人类的数学发展又向前进了一大步！通过这节课的学习你的认识是否也前进了一步呢？

    生说。

 

    环节五：拓展延伸，发展学生的代数思维

    想一想：字母X除了表示魔盒中输入的数、老师的岁数。还可能表示生活中的什么呢？4X又可能表示什么呢？

    【设计意图：通过购物的情景，让学生感受字母与具体的数一样，既可以比较大小，还可以进行加减乘除四则混合运算，发展孩子的代数思维，并通过数学文化的介绍，让孩子感受数学的魅力，激发学生进一步学习的热情和欲望，为后续学习做铺垫。】

 

    整堂课学生学习兴致高昂，主动参与知识的建构，深刻体会到用字母表示数的必要性和意义，以及用字母表示数的注意之处。课结束时，学生意犹未尽，成功实现了从“算术思维”向“代数思维”的跨越。

    总之，数学教学无论是对于教师的“教”，还是对于学生的“学”，都应该是一个充满生命活力和人文关怀的过程。这个过程少不了阳光和雨露的滋养，也少不了风霜和雨雪的考量。需要学生自己去经历、去体会知识建构和形成过程，更需要教师对学情的准确把握和对教材的深入解读，才可能上出“营养又好吃”的数学课。

 

    参考文献：

    1.俞正强：《种子课——一个数学特级教师的思与行》北京：教学科学出版社2013.5（2016.7重印）。

    2.教育部：《数学课程标准（2011年版）》北京：北京师范大学出版社，2012.1。

    3.教育部：《数学课程标准（2011年版）解读》北京：北京师范大学出版社，2012.1。

    4.课程教材研究所：《义务教育教科书》北京：人民教育出版社，2013.5。

    5.顾泠沅：《学生数学学习的心理基础与过程》 上海，上海教育出版社，2009.10。