2009年10月12日人民日报刊载了温家宝的文章《教育大计 教师为本》。这篇文章是温总理于2009年9月4日到北京三十五中学听了5节课后的点评以及座谈会上听取教师代表发言后的讲话。

    温总理在文章中提到钱学森曾问他：“为什么现在我们的学校总是培养不出杰出人才？”钱学森就这个问题问过温总理五六次。温总理说：“我理解，钱学森讲的杰出人才不是我们说的一般人才，而是像他那样有重大成就的人才。如果拿这个标准来衡量，我们这些年甚至建国以来培养的人才尤其是杰出人才，确实不能满足国家的需要，还不能说在世界上占到应有的地位。”

    温总理还指出，我们出去这么多留学生，也成长了一批人才，充实了各行各业，但确实很少有像李四光、钱学森、钱三强那样的世界著名人才。

　　目前的情况是，有关方面显然还没有意识到中小学数学教师在我国是被长期扭曲塑造的。教师们热衷的各种数学教学目标均将数学教育之根本——培养求原理、讲道理、懂科学、有智慧、究根底、会思考的人抛到了九霄云外，所执之数学教学目标，一是为考试服务，二是假、大、空。
 

　　当前中国数学教育究竟存在着什么问题？

    温总理到北京三十五中学听的那节数学课已经很能够说明问题了。

    传统的初中几何是平面几何，现在的初中数学课本给出的则是平面与立体界限模糊的几何（因为《数学课程标准》不提“几何”二字，所以现在的课本也往往不提“几何”二字）。但“三角形全等判定”的魅力就在于其最佳运用背景是平面空间。

    就以风筝为例，将这个具有轴对称特点的实物正投影到平面上后，其对称（全等）关系并不能单纯依靠平面上的平移、旋转这两个动作而使其得到验证，通俗讲就是风筝的左半部分有可能在平面上无论经过什么样的旋转、平移都不会与右半部分重合。这相当于说，在平面上，仅靠平移和旋转无法验证所有的轴对称关系。

    面对这个问题，先贤们，可能最早的是古希腊先哲泰勒斯归纳出了若干判定三角形全等的要素来解决这个矛盾，三角形全等判定的重要性、必要性就在这里。

    但从北京三十五中学的这堂数学课看，教师采用了翻折的方法来验证轴对称，用以说明风筝的左右部分是全等的。在三维空间（或称平直的立体空间）通过平移、旋转、翻折这三个动作使两个图形重合，自然也就说明了全等。在立体空间这个背景下，平面上的三角形的全等判定定理显然不那么必须了，因为用三个动作的变换就可以使两个三角形重合，即可说明这两个三角形全等。当然，这种运动性的变换尚须以图形的刚性不变为前提，这也是被现在的教材和教师都忽视的前提。这堂课还用到了量角器、圆规、尺子。

    几何的魅力，几何之能够促使人更智慧的思考，就在于这个系统要求用尽量简单的动作、尽量简单的工具处理并不简单的事物。

    “三角形全等判定”的魅力就在于其抓住了全等的本质，摆脱了用器具“实际测量”的束缚，这是数学科学的聪明之处。

    不难看出，该教师并没有讲出数学的聪明，没有讲为什么要有三角形判定定理，没有讲若没有这个判定定理会发生什么。

    温总理非常内行的指出：“一堂课只教会学生三角形全等的判定，内容显得单薄了一些，还可以再增加一点内容。”

　　但令人遗憾的是，任课教师对温总理所指出的问题的认识是：“这次总理特别选择了一个中学的普通班，这个班级的学生多数不属于基础很好的学生。因此，课程内容量和讲课速度，都要考虑到这部分学生对于知识的接受能力……我理解，总理所说的增加课的容量，应该就是要求教师要在注重基础的同时，也要满足不同层次学生的需求。”（2009年10月13日《新京报》A08版）

　　不能怪该教师没有领悟温总理的评析，因为当前我国的“三角形全等判定”的课都是这样上的，若说有差别那也仅仅是这节课是讲一个判定还是讲三个判定的量上的差别。根据《数学课程标准》，不同出版社编写的多套教材也大致就是这样编写的。

    再往大了说，到目前为止，人们还是没有认识到“教育大计 教师为本”的实质性意义。人们问着“我们为什么产生不出世界级的大师？”，却不愿意面对答案：我国中小学数学教师队伍缺乏或干脆没有像傅种孙这样的大师级的教师。

 

　　数学教育的根本在于数学教师，在于究竟应该培养什么样的数学教师，提倡什么样的数学教学，在于以怎样的视野、用什么样的话语来讨论数学教育问题。

　　我们就以钱学森的初中老师傅种孙先生为例，来谈谈一个数学教师究竟应该有什么样的数学根底，对数学知识有什么样的思想认识。

　　钱学森曾回忆过听傅先生讲课的感想，他说：“听傅老师讲几何课，使我第一次懂得了什么是严谨科学。”一名数学教师通过自己的数学课使一位未来的世界级科学家第一次懂得了什么是严谨科学，这是非常了不起的，也是非常值得后世效仿的。

    只可惜，我们今天的数学教育或数学教学，没有多少人提倡通过数学课来使学生懂得严谨科学的。当今的数学教材不提倡，数学教学不提倡，甚至数学教育研究也不提倡。现在的数学教育提倡让学生学有用的数学，讲究立竿见影，喜欢抛弃本质，而在非本质的形式上打转转、作文章。这使得学生追求实惠、时髦，即使是学得非常好的，也容易为“实利”所累。

　　什么样的数学教师才能使学生懂得并追求严谨科学的规律或要求呢？

    傅种孙早在1920年前后就已经注意到西方先进的数学科学进展，特别重视与数学教育相关的思想或哲学层面的数学发展状况。例如数学哲学、数理逻辑、几何基础，集合理论等等。这些领域在当时是十分活跃的，是罗素、怀特海、克莱因、希尔伯特这些大师级数学思想家驰骋的天地，而这些知识涉及的往往是数学原理、数学思想，属于数学科学的哲学思考，对挖掘中小学数学的思想价值、育人价值极有意义。哪怕是最简单的数学对象，例如数字、线段、三角形、圆这些最基本的概念也具有非常深刻的科学背景或数学思考，这些看似简单的知识并不简单。傅先生深入研究过罗素的《算理哲学》，早在1920年就发表过论文《什么是数学》，还将几何研究的先进成果引入我国，翻译出版了希尔伯特的《几何原理》。傅先生注重对数学的原理、道理、科学方法、智慧思考的发掘，并将这些贯穿于数学教学的始终，使学生从数学中获取尽可能多、尽可能大的思想力量。

　　现以当今小学数学中的“比和比例”的教学为例，看看傅先生是如何认识这个教学内容的。他认为教师首先要搞清楚以下几个问题：

　　（1）什么是比？给学生讲比时，若讲码对尺的比，不是用公尺与市尺的关系来打比方，而是应该用三个手指与一个手指的关系作比喻。这就是用比例说比。

　　（2）什么是比例？两比相等就是比例。这是用比来说比例。

　　搞清楚了这两个问题后，自然就有了新问题：

　　（3）比与比例应该谁先谁后？

　　第3个问题是教材上不会有、现今的小学数学教师很少会考虑的，但的确是个历史悠久且颇具思想意义的问题，靠小学生自主探究或凭空想是想不出来的。

    教师要有对这个问题的思考意识，但是现如今的小学数学教师未曾受过关于这个问题的数学训练，自然是不会想到这个问题。

    更严重的是，由于教师缺乏对数学的科学认识，因此也就不会把问题3当一回事，发展学生智慧和提高学生理性思维能力的学习机会就这样流逝了。

    傅先生对这个问题有精到且科学的表达，可惜无人去读，更没有被重视。

    今天，无论是中小学数学教师还是学生，绝大多数人对数学中的“比与比例的意义”的认识处在表层。

　　实际上，在确立了比的意义之后，傅先生的思考还远没有完结，继之而来的问题：

　　（4）什么是量（liǎng）数？

　　量Q的量数是该量对于特定么率（单位）U之比，显然么率不同则量数Q∶U不同，因此又有问题：

　　Q1/U Q1/U’

　　（5）———＝——— 吗？

　　Q2/U Q2/U’

　　（6）能说两量的比即是它们的量数的比吗？

　　傅先生指出，当时（1941年）的教科书都漠视问题5而漫谈问题6，这是个缺憾。他不无讥讽的指出：“我说的这一切，都是我们教学中所认为不成问题的。幸而学生们都有颜回之风，终日不言，教师得安然无事，若有子路在座，怕是要不得安宁了。”

　　“比和比例”是目前在小学数学课程中安排的知识，小学数学教师几乎都曾讲授过，但能按傅先生所指点的，弄清问题1到问题6的，却极少有。现今的一些能够影响数学教育教学导向和发展的著名的教育学家一再宣扬小学数学知识浅显，并无值得研究的内容，要教师将力量放在教育思想和教学法上，因此出现教师弄不清问题1至问题6的现象也就的确不足为怪了。

　　客观地说，小学数学最丰富的就是其启迪性、思想性，包含了大量的、原始的、具有启蒙科学认识意义的思想。这些思想源于对数学科学中的元问题的研究，是两千多年来由大量一流数学家殚精竭虑研究的结晶，是提高数学教师数学专业水平最好的食粮。

    目前的情况是，这些有价值的知识没有用于培养数学教师。而数学教师们在近几十年的高等或进修教育中学到的往往是被误导、误解的数学教育理论和知识，就如同《红楼梦》里的刘姥姥在大观园里吃了茄子却不知道吃的是茄子，因为茄子已经被大观园里的厨师加工得远离了茄子味。以贾母为代表的大观园的主人们还以此为自豪。试想连刘姥姥这样种茄子的都吃不出茄子味了，这样的茄子加工技术还不高明吗？

　　傅先生在指导“扩大数系”的教学时，曾提出：当负数引进时，无论是用温度的升降、行程的进退、账项的收付，还是数轴及面积的表达都不是可通的证法，若理论与实际兼顾教学，则应该：

    （1）须用一些事例说明自然数不能满足应用，需要扩张，把所得新数称为正负数，而不规定正负数之意义。

    （2）须从这些事例概括出正负数在事实上所需要之性质(如关于加、减、乘、除及大小之各种规则)，将其中基本的性质列举出来，承认他们而不加证明。

    （3）将自然数之重要性质，以正负数拟之，分辨同异，以资比较。他还指出，升降进退都是我们想拿正负数去代表的事例，而不是正负数……故虽以升降为正负，而不可认升降为正负。

　　他的认识是科学的、是数学教学的常识，能让学生有这个认识相当于提高了抽象或科学认识事物的能力。

    课改后关于小学数学中负数的教学讨论、案例很多，但无任何一篇能达到傅先生之认识。这固然与负数是小学数学中的新内容、孤立内容有关，但更主要的是现在的教材为了所谓的情境引入，为了说明数学来源于实际，僵化而又教条的在每章数学教学内容的开始一律强调  数学来源于实际，甚至连数学课题都被代之以非数学的情境标题，如《植树》、《参观动物园》等等。

    讲授数学知识来源于实际，强调数学知识与生活的联系也无不可，但不宜占太过多的分量，而应强调通过逻辑链条以及由浅入深的认知路径，利用逻辑便利，以承前启后的方式将数学新知识揭示给学生，之后再学习或尝试对新知识的应用和发展，这样才符合数学学习的特点，才能发挥数学知识的智慧作用。

    那种强调让学生重复数学家或经历数学家的研究过程，恨不得让学生从“钻木取火”开始去认识、学习某个数学知识的办法是极其低效的，是不符合数学学习规律的。

    须知，哪怕是对数字“1”的认识过程也是历经了上万年的人类的思维曲折才发展出来的，这之中既包括有普通人的思想，也有数学工作者的提炼，更有现代数学家的理论概括。

    所谓让学生经历数学家的思考过程，难以符合实际，也无法发挥数学科学的培养人的智慧的作用。更何况，缺乏对数学知识深入了解的教师能领会或知道数学家是怎么想的吗？一个数学教师若不具备傅先生那样的思想和认识，他怎么能领会皮亚诺为何要建立自然数公理体系？而不懂得这个公理体系，他又怎么知道数字“1”的数学意义？连数字“1”的意义都不清楚，他能理解“1+1=2”的数学意义吗？

    教师习惯于任由课程与教学论专家们推广从国外引进的各种教学法、热心于教育心理学家从国外拿来的各种经验，唯独不关注数学本身的原理、道理、规律和思想。小学数学教师读了师范专业，却连基本的算术理论都没有学过，这使得小学数学教师职业客观上成了是个人就能干的职业。试问大师能从这样的教育环境中蕴育而生吗？

　　可能有人会说，傅先生教书的时代实施的是精英教育，现在是大众教育，要求不一样。这是个“高标准高要求好呢？还是低标准低要求好呢？”的简单问题，仅从数学教育思想水平来看，我们今天的最好的数学教师与八十年前的傅先生相比，其专业差距是明显的，在实施大众教育、普及高水平教育的今天，难道不应该以傅先生这等水平的中小学数学教师为标准、为榜样吗？具有标志性的数学教育人才水准不升反降，难道不需要找找原因吗？难道有人喜欢“今不如昔”的现状？

 

　　最近，围绕我国数学教育的讨论比较多，人们各执一词或两词，公说公有理、婆说婆有理，但不难看出所用词汇，放出的话语，讨论的问题，争论的焦点均像“贾府的茄子”，独缺数学或数学教育本身的话语。

    数学本是思想极其丰富的科学，历史上古希腊、古罗马的人们曾认为数学就是哲学，哲学就是数学，数学为人类的深入思考和思想解放提供了动力，提供了方法，提供了智慧，数学以最廉价的工具或手段，用无刻度的尺、圆规、笔，高效训练了人脑，发展了科学方法，甚至不用纸、不用笔，只需有根树枝子，坐在地上，就可以让思想驰骋，进行智慧角力。数学是社会和经济成本最低的科学与教育手段，是科学思想的高效培养途径，其应用的广泛性更是无人怀疑。

    十九世纪下半叶到二十世纪初，数学思想、方法、哲学基础处于蓬勃发展的时期，戴德金、康托尔、罗素、希尔伯特、克莱因、怀特海、哥德尔等众多数学思想家都为建立数学的基础而不懈的努力和著述，形成了宝贵的思想结晶，这些思想或认识正是中小学数学教师应该吸收学习或掌握的，像弗雷格的《算术基础》、阿达玛的《数学领域中的发明心理学》、兰道的《分析引论》、牛顿的《自然哲学之数学原理》、罗素的《数理哲学引论》、菲利克斯•克莱因的《高观点下的初等数学》。

 

　　当前，中小学数学教师的关键问题是对数学本身的认识十分浅显，不能充分发挥数学的科学的育人功能，但目前的教师进修、提高以及教育硕士的培养、数学教师的职业资格认定等，还都是以教育学或课程与教学论的要求为准，数学教育离数学太远，数学教育的课题也离数学太远，这都是急需解决的问题。

    总之，数学教师是培养国人科学素质的关键因素，是培养世界科学技术或其他领域顶尖人才的不可少的前提条件。以数学教师的专业发展为本，促使数学教育的水平达到傅种孙先生那样的水平，是包括政府在内的方方面面努力的根本方向。
    （谭晓明选编）