二、学科分析的视角

 

    作为供中小学生学习的数学学科与数学家研究的数学科学，在目的任务、体系编排、内容取舍、知识呈现等方面都有着较大的差异。当数学学科被加工成课程时，就已经揉进了大量教与学的考虑；当我们分析数学的课堂教学时，必然是针对数学学科而言的。因此，上面所讨论的教学分析其实就是学科教学分析。既然如此，为什么还要单列一个学科分析呢？

 

    那是由于当下的评课，特别是有专家、学者到场的评课，经常可见两种现象：一是脱离学科缘由，高谈阔论“教学理念”；二是抡着教学理论的刀斧，对着学科教学实际削足适履。由此，笔者认同下列看法：

 

    “迄今为止的课堂，大多以学科教学为载体，‘去学科’的课堂改进至少是一种缺失，不了解、曲解学科本意的改进甚至是一种危险。”

 

    决非耸人听闻。

 

    例如，教学“等可能性”，最常见的教学设计是抛硬币实验。可就是这个实验，常常让老师处于尴尬境地：课堂上好不容易收集了所有学生的实验数据，却发现不是“次数越多，越接近一半”，而是全班的累计数比小组的、个人的统计数与预期的误差更大。评课时，老师们往往基于课改理念做出评价：“实验不充分”、“课堂生成应对不佳”，或者基于自己的经验提出教学细节的改进意见。有一位骨干教师，虚心听取大家的意见，精心修改、反复试教、多次反思，最终感悟：能否通过实验证实“抛得次数越多，硬币正面朝上的可能性越接近一半”全凭运气。于是出现了要不要实验的争论，辩驳的依据都是“课改理念”，自然争不出个所以然来。

 

    如果从学科的视角分析，那么抛硬币的两种可能性，属于古典概率，而古典概率的等可能性，一般不是通过实验验证的，大多是根据人们长期形成的“对称性经验”确认的。因此，抛硬币的实验可以让学生感悟随机性：明明知道硬币正反面朝上的可能性各占一半，已经两次正面朝上了，下一次是否反面朝上了呢？抛了才知道。但如果指望通过学生的课堂实验证实“次数越多，越接近一半”，那就确实需要运气。

 

    其实，小学数学中出现的概率（可能性），除了古典概率，还有统计概率。那些可能性不相等的随机事件，如抛啤酒瓶盖、抛一次性纸杯等，各种情况出现的可能性难以估计，就可以用频率即统计概率来刻画可能性的大小。也就是说，更适合做实验的是统计概率。

 

    为什么诸如此类的问题会长时间地成为教师比较普通的困惑？原因之一就是因为我们缺少学科分析。

 

    为使我们的教学改进不违背科学，符合学科本意，在上述教学分析之外，还能够或者说还需要分析什么呢？下面讨论两个比较主要的学科分析切入点。

 

    1．科学性与通俗性

 

    教学中的科学性起初与思想性相连，以后又与艺术性、人文性相对，从而产生多种涵义。科学性与思想性相连，主要指教学应给予学生反映客观真理的知识并且贯穿教育，简而言之即教书育人；科学性与艺术性相对，可归结为教学有法与教无定法的关系，即遵循教学规律与追求教学“美”、“活”的统一；科学性与人文性相对，可追溯到崇尚工具理性的“科学主义思潮”与追求价值理性的“人本主义思潮”。

 

    这里所说的科学性，主要是指学科意义上知识的正确性，把它与通俗性相对，是期望数学教学既能确保准确无误，又能使小学生听得懂、看得明、学得进、感兴趣。显然这是课堂教学的一个基本要求，一节数学课如果概念不清、原理讲错，即使形式再美、手段再新，也不是成功的课。

 

    例如，为引导学生分辨三角形的“稳定性”与平行四边形的“可变性”，教师出示如下判断练习：

 

    在长方形木框中加钉木条（如下图），哪一种能使木框不变形？

 

    教师给出的结论是“只有第④种能使木框不变形”。

 

    课后研讨，有人对第③种情况提出疑义，但说不清理由，于是提议既然争不清楚，不如“钉个木框试一试”……

 

    从科学性的视角来分析，首先是概念不清，所谓三角形的“稳定性”是指三角形三边长确定之后，其形状和大小就唯一确定了，而不是“拉得动、拉不动”的问题。

 

    其次，数学结论的确立，不是依赖实验，而是依靠推理。试想，如果用钢管焊成一个四边形，无论如何用力，都难以使它变形，由此能说明四边形也具有稳定性吗？长方形木框容易变形，是角的大小在变，但木条长度不变，仍然对边相等，因此还是平行四边形，而平行四边形只要有一个角是直角，就一定是长方形了（长方形判定定理之一）。

 

    这样的说理、判断对于小学生来说，理解有困难。因此，从通俗性考虑，可以去掉第③种情况，或者把它改成下图，这样“只有第④种能使木框不变形”的结论就没有歧义了。

    数学的科学性不仅反映在结论的确定性上，还反映在逻辑的严谨性上。违背逻辑基本要求的课堂教学，即使学生发现不了问题，也应力求避免。

 

    例如，教学同分母分数加减法，有教师先让学生计算已学的小数加减法，然后把小数改写成分数，导出计算结果：

 

    评课时，有老师认为这是“发现式”教学，由已知到未知，不讲自明。也有老师认为，这是循环论证，不科学。后者是对的。因为在初等数学里，小数作为分数的特例“十进分数”，其性质、法则都是基于分数的性质、法则得出的，所以用小数的计算法则导出分数计算法则，确可归为循环论证。其实，根据分数的含义，学生很容易推出3个1/10加5个1/10等于8个1/10，同样浅显易懂。教学可以另辟蹊径，但若影响了科学性，就应权衡利弊了。

 

    这里之所以将科学性与通俗性联系起来，还出于以下考虑。评课时，常见部分教师对执教者的所谓数学语言咬文嚼字、字斟句酌，在笔者看来，其中大部分属于过分挑剔，如“平行四边形的底乘高”要说成“平行四边形的底乘相对应的高”，才算“严密”。按照这样的标准，用文字表达的面积公式“平行四边形面积＝底×高”本身就是不严密的。

 

    由此，常常引发、陷入无谓的争论，比如“三角形的高是线段还是长度？”事实上，三角形的高可以定义为“从三角形的一个顶点到对边的距离”，也可以看作“由一个顶点向其对边作垂线，顶点和垂足间的线段”。如同圆的半径，小学描述为“从圆心到圆上任意一点的线段”，中学定义为“定长”。如果我们非要严格区分“高”与“高的长”，“半径”与“半径的长”，岂非庸人自扰。

 

    类似的争论还时常由教学语言引向教学设计，如“让学生用手指指出周长对不对？”认为不对的理由是周长是“量”不是“形”。其实，学生从平面封闭图形的某一点开始指一圈回到该点，一周总长的起点、终点都指出来了，为什么硬要说指的只是图形不是长度呢？

 

    因此，讨论科学性与通俗性的统一，要防止片面理解科学性原则，既不能丢弃结论的正确性与逻辑的基本要求，又不宜过分追求严谨、严密，从而脱离学生的认知实际，对教与学产生误导。一旦师生的注意力都集中在吹毛求疵上，势必影响对数学知识本质的揭示与理解。

 

    2．历史性与人文性

 

    任何一门学科都有自己的历史，数学当然不会例外。特别是小学的数学知识，大多是人类“童年时期”文化的结晶，有着悠久的历史，其中有不少可贵的教学资源，评课时也应予以关注。

 

    数学发展到今天，早已成为一个符号化的世界，难怪罗素会说：“数学就是符号加逻辑” 。然而，数学符号的抽象性会使不解其义的人，视为“天书”，望而生畏。相反，不少数学符号，如何能够联系历史上首创者的本意，又会让人感悟符号内涵的灵气，凭添一种亲近感。以四则运算的符号为例，小学教师一般都会解释除号“÷”的含义，如：“中间一横表示平均分，上下各一点，表示每份一样多”。如此经过教学法加工后的解释与除号的原义，用一横穿过两点表示分解基本一致。但其他三个运算符号，却一直少有人说明其意。

 

    一次乘法初步认识的公开课，教师向学生介绍了乘号的来历：1631年英国著名数学家奥特莱德在他的数学著作里第一次用了乘号。评课时，笔者做了进一步的诠释：一般认为奥特莱德的本意是因为乘法是特殊的加法“同数连加”，所以他把前人使用的“＋”转动 45°角表示特殊的加。当时会场里出现了有趣的对话：“那么加号呢？”“‘＋’最初用来表示过剩，用来作为加号显然是通过一横添上一竖，表示‘－’与‘│’合并起来的意思。”马上有人联想到：“减号应该是从‘＋’里拿走一竖表示去掉、剩下的意思”。在场的教师都觉得很有意思，很受启发。是啊，只要在引入符号时“添上一竖”、“拿走一竖”、“转动 45°”，就能非常生动、形象地凭籍符号本身揭示运算的含义，这样的历史性内涵不加开发、利用实在是非常可惜的。

 

    又有一次，观摩抽屉原理的教学，大家对教师课中的介绍“抽屉原理是德国数学家狄利克雷首先明确提出的，所以称它为狄利克雷原理，又叫鸽巢原理”，产生了不同看法：有老师认为既然指出“又叫鸽巢原理”，就应该说明狄利克雷最初的举例是“如果有5个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么鸽子飞回笼中，至少有一个笼子里装有2只鸽子”；也有老师认为这样一来显得话多了，是“画蛇添足”；还有教师提议，可以让学生猜想，为什么又叫鸽巢原理，以此启发学生感悟抽屉原理能够应用于不同场合，在这基础上引出各种应用练习就水到渠成了。由此形成了共识：数学史料不应为介绍而介绍，处理得好，能促进学生对相应数学知识的理解与应用。

 

    《现代汉语词典》对“人文”的解释为“人类社会的各种文化现象”。学科教学的人文性有两个基本内涵：一是教学氛围的人性化（前面的教学分析里已经提及），二是教学内容的人文化，或者说学科文化。新一轮课改以来，数学文化得到了关注，比较常见的除了穿插数学史料的介绍之外，还有古代名言、名句的引用，如教学圆的认识，引进《墨经》一书的名句“圜，一中同长也”，也有教师尝试揭示“圆出于方”。

 

    此外，中国民族文化可供数学学科教学挖掘、利用的还有很多。

 

    例如，教学分数的认识，同课异构：一位教师由等分引入分数；另一位教师从除法引出。评课时，大家认为两课的区别在于问题情境不同：前者借助现实情境，引出等分结果的表达问题；后者由数学内部的矛盾即1÷2的商无法用整数表示，引出商的表达问题。两课各有千秋。两课的共同点是数形结合，直观手段的运用都比较充分，后半段巩固分数意义的练习则是殊途同归。

 

    有教师提出，既然由除法引出分数，能否改变分数意义的描述，直接用除法定义分数呢？

 

    从数学学科来看，用“除法”或者用“比”定义分数都是可以的，也都可以直观图示，而且比“把单位‘1’平均分成若干份……”的定义更具一般性。因为等分单位一的定义适合非负数，推广到负数就非常别扭了。

 

    然而，中国的老师教中国的学生，分数意义的描述还是以“单位‘1’的等分”为好。这和语言有关，比如英语中分数是“从上往下”读的，即先读分子、再读分母，因此他们从除法引进、用除法定义都比较顺。而汉语中分数的读法与英语正好相反，这可以成为我们学习数学的语言优势。比如3/5是什么意思？只要把它读出来“五分之三”，就已经言简意赅地解释清楚了“五等份中的三份”。也正因为如此，我们书写分数时，要先写分母、后写分子，以使分数的读、写与它的含义对应起来。

 

    又如，教学多位数的认识，常见的很多练习针对着数的组成这一难点设计：

 

    3056由（ ）个千、（ ）个百、（ ）个十和（ ）个一组成；

 

    3056＝（ ）×1000＋（ ）×100＋（ ）×10＋（ ）×1。

 

    如果能够联系多位数的读法，则难点可以消弭于无形：

 

    3056读作三千零五十六，即3056是由3个千、0个百、5个十、6个一组成的。

 

    可见，数学文化，不仅仅是数学历史。

 

    这里，着重从科学性与学科自身的人文性两个方面，阐述了学科分析的两个切入点，其实质就是追求数学学科意义上的科学与人文的和谐统一。

 

    此外，还可以从学科的角度分析课堂教学的趣味性，以及思维训练的价值等。强调这些分析点的切入视角，是因为联系学科背景有利于避免偏颇。比如，小学数学教学需要“小猫钓鱼”、“小猪搬家”等富有童趣的情境载体，更期待通过这些载体揭示数学自身的魅力，而不是在数学课上即兴开展童话故事比赛。又比如，脑筋急转弯式的发散练习，不能说没有思维训练价值，但让学生以为只要随心所欲找到一条理由（依据），任何结论都是对的，那就不是数学了。

 

    三、专题分析的视角

 

    这里所说的“专题”，主要是指那些由理论与实践相结合，或者由理想与现实相碰撞生成的具有明确指向的教学专业话题。

 

    专题分析的切入点，比教学分析、学科分析要多得多。比如，探究与接受、预设与生成、认知与情感、群体与个体、现实情境与数学意义、数学建模与数学应用等等，都是目前评课时经常讨论的热点话题的核心词语。此外，传统的话题，如因材施教、温故知新、教学对话，以及练习的设计与实施等，在课改背景下，也都可以与时俱进，增添新的内涵，作为展开分析的切入点。限于篇幅，仅选择两点讨论。

 

    1．温故知新

 

    “温故而知新，可以为师矣”，出自《论语•为政》，意思是说温习旧的知识，得到新的理解和体会，也指回忆已学知识或者过去的学习经历、经验，能更好地认识当下新学的知识。前者，常见于数学的练习与复习，后者，更多反映在数学的新授课中。这里着重讨论后者。

 

    以往的教材，在呈现新授内容前，常常安排一些复习题、准备题或者过渡题，加以铺垫。现在新编的教材，基本上不再出现这些内容。以致有教师问：是不是数学课程改革不要课堂教学的复习过渡环节了？

 

    本来，新授前设置复习、准备活动，主要意图有三：第一，通过再现或再认等方式激活学生头脑中已有的相关知识；第二，为探究铺设台阶或者分散新授的难点；第三，通过复习，由旧引新。

 

    三方面的初衷是否合理，很难一概而论。

 

    先说第一点。教材直接以问题情境开始，有利于放大学生的探究、思维空间，有利于学生经历从现实情境中抽象出数学问题的过程，发展问题意识。在这过程中，让学生面对问题自己去联想解决新问题该用哪些已学知识，这本身就是一种能力、一种锻炼。但如果多数学生自己联想有关知识有困难，或者出现了回生、遗忘现象，那么教师从实际出发，先行组织复习也是可取的。

 

    再说第二点。铺设台阶、分散难点，本无可厚非。问题在于以往的课堂教学实践中，常常铺垫暗示过度，或者分解过细，从而为学生精心设置了一条狭窄的思维通道，名为探究，实际上学生只要稍加尝试或举例，结论就出来了。看似学习效率不错，但对发展学生主动获取知识的学习能力的作用就很小了。有这样的问题存在，可以改进，不必就此因噎废食，否认所有教学铺垫的合理性。要知道认知心理学家奥苏伯尔设计“先行组织者”，提高教材“可懂度”的技术，建构主义支架式教学“搭脚手架”的环节，其实质都是特定意义的教学铺垫。

 

    例如，让学生通过除法计算探索循环小数之前，先以学生熟知的一年四季、一周七天等周而复始的实例，让学生感知“依次不断重复出现”的周期现象，以此作为同化新知识的“先行组织者”。有了这一铺垫，原本抽象、拗口的循环小数的定义，学生大多能够通过类比自发地加以描述，从而有效降低了发现和理解的难度。

 

    至于第三点，实际上是小学数学最常用的教学策略之一，它的运用是否恰当同样需要具体分析。

 

    例如，教学多位数除法，前面已经探究了商是一位数的例题，接下去教学商是两位数的例题，一位教师做了如下处理：

 

    复习：用竖式计算174÷23。完成后请学生叙述计算过程，教师加以板书。

 

    新授：用竖式计算1748÷23。同样是让学生各自独立完成，然后请学生陈述计算过程，教师在原来的板书上添加：

 

    上述过程都是学生算、学生讲，但研讨时还是有教师认为“放手不够，扶得太多，探究性不强”。有些教师并不完全同意，又似乎觉得难以反驳，因为这样的评论，“普适性”很强，可以套在很多课头上。最终执教老师为自己作了辩护：“直接出示例题学生是能独立完成，但由旧引新的意图是凸显新旧知识技能的生长点、连接点，让更多的学生体会到新的例题只不过加了一点，老师不教，自己也会做，我认为这道例题没有什么新的探究成分，‘商、乘、减、落’的过程在学习一位数除多位数时已经探究了、也总结了。”

 

    的确，小学数学教材有许多“加一点”的编写设计，确实不必每道例题都从头探究。

 

    总之，教师应当权衡利弊，通盘考虑：哪些课题需要设计复习以帮助学生回忆所需知识，哪些课题可以让学生直接面对问题自己搜索可用知识；哪些课题设置台阶引领学生拾级而上效果更好，哪些课题值得不加铺垫让学生跳一跳摘果子；哪些课题由旧引新具有优势，哪些课题可以不设过渡，开门见山。

 

    2．教学对话

 

    教学对话过去主要指师生间的对话，认为课堂教学是师生自己的双边活动，现在还包括学生之间的对话、学生的自我对话，以及师生与教材文本的对话。实际上，学生与自己、与文本的对话，需要通过陈述才能被他人了解，而学生间的对话教师也会介入，所以主要还是师生间的对话。教师的教学智慧，很大部分反映在对话过程中。

 

    对话作为一种教育民主的精神，它基于师生人格的平等，互相尊重、信任的和谐教学氛围。对话作为一种课堂认知方式，它强调通过信息交流生成师生互动、思维碰撞，相互启发、补充、理解，达成共识、共享、共进。因此，简单的一问一答，并非真正的对话，真正的对话不光表现为提问与回答，还表现为交流与探讨、理解与评价。当然也可以把对话看作教学的原则和方法。

 

    数学教学对话的特殊性在于，数学语言大致可以归结为符号语言（如算式）、图表语言和文字语言三类表现形态。只是在小学数学课堂上更多地还是依靠口头表达的文字语言进行交流。

 

    评课时分析师生对话，常常是有趣的，富有启迪的。

 

    例如，教学三角形三边关系的练习环节，教师给出三条线段的长度，请学生判断能否围成三角形，并说明理由。前两组的数据是：

 

    （1）长4、6、9厘米；

 

    （2）长4、6、10厘米。

 

    判断第一组数据，学生回答的理由是：因为4＋6＞9，4＋9＞6， 6＋9＞4。判断第二组数据时：

 

    第一个学生回答：能！

 

    教师追问：你是怎么判断的？

 

    该生回答：因为4＋10＞6。

 

    马上有学生反对：错！要随便哪两条边的和都大于第三边，这三条线段4＋6＝10，围不成三角形的。

 

    前一个学生想了想争辩道：那就应该说，三角形最短的两边的和大于最长边。

 

    教师表示赞同：可以这么理解，大家听懂了他说的意思吗？

 

    有学生表示：我喜欢××的方法，这样只要判断一次就可以了。

 

    课后，大家对三角形三边关系的结论如何表述，“最短的两边的和大于最长边”是不是比“任意两边的和大于第三边”更适合小学生开展了讨论。形成的共识是：作为三角形的性质，教材的表述是三种情况的概括，再说“任意”这个词以后在数学学习中经常会遇到，应该让学生接触，逐步习惯；学生的表述用于判断比较简便。

 

    这个案例，让我们看到了小学生个性化的意义建构，看到了学生之间讲出自己的看法，通过对话分享彼此的思考、经验，形成了新的认识，也能让我们感悟，所谓学生与文本的对话，其实质是学生对教材叙述的理解、质疑与评价。

 

    以上，分别从三个既有联系又有区别的视角，联系当前小学数学的实际，讨论了评课的若干切入点，实际上是提供评课的一些分析框架和线索，其间也陈述了笔者个人的一些观点、见解，给大家参考。

 

    我们过去评课，往往习惯于按照一节课的实际教学顺序来评：开头怎样引入，中间怎样展开、怎样组织练习，最后怎样小结，这当然也是可以的。如果能够打开思路，有意识地结合各种角度透过课堂现象找到评课的切入点，既就课论课，又就课论理，既基于学科，又依据理论，把普适性理论置于具体学科、具体课堂的背景中来诠释，分析就能更加深入，大家的收获也会更大。

 

     （● 注：由谭晓明小数工作室王淑英推荐）