找准起点，基于数学思想展开教学

——“数与形例2”一课的研究和改进历程
湖南省津市市第二小学 陈克菊

  
    一、内容的选定

    中秋节下午，接到学校教研校长打来的电话：“陈老师，不好意思，放假了还要打扰你。下周请你为全市信息技术培训活动上一堂课，时间短，恐怕这个假你有得忙了。”上什么呢？我从教材中挑选着，前面简单点的得留给备课组的两个年轻老师，她们准备上专题课。我自己想突破点什么呢？近年的教学中，哪个内容我和老师们都感觉自己教学有难度呢？在这样的思中,我决定挑战第八单元的“数与形例2”。这个内容的选定，其源头其实就是王老师的赠书。迄今为止，我只在王老师的书中领略了相应的教学片段的设计与分析，也许是我孤陋寡闻吧，也许真的还没有趟出一条路来，名师们不敢闯，我们这些“小”老师又还琢磨不透。因此即使出版的鼎尖教案中也是将例1、例2在一个课时内完成，一线的老师们都知道这是不可能完成的。“向王老师学习，站在巨人的肩膀上能看得更远，试试！”一个大胆的声音怂恿着我，我居然顺应了。

    二 、基于教材和学生研究的首次实践

    认真研读了王老师的“以‘形’助‘数’，以‘数’解‘形’，培养学生用‘数形结合’的思想解决问题并体会极限思想”教学片段与分析，再综合教材和学情分析的基础上，我制定出了
第一份教学设计。

 
 [教学目标]
1.经历观察、操作、归纳等活动，借助“形”来直观感受与“数”之间的关系，体会有时“形”与“数”能互相解释，并能借助“形”解决一些与“数”有关的问题,知道用“数” 也能解决有关“形”的问题。

2.通过数与形结合来分析思考问题，会利用图形来解决一些有关数的问题，提高解决问题的能力。

3.在解决数学问题的过程中，充分体会数形结合、归纳推理、极限等基本的数学思想。

 
 [教学重点]
 用数形结合的方法解决数学问题。

 
 [教学难点]
 感悟数形结合的巧妙与重要。

   
 [教具、学具准备]

 课件、记录单。

   
 教学过程]
（一）创设问题情境，激发学习欲望

师：同学们，昨天我们在数与形的王国里游历了一番，你有什么样的感受呢？请你用一个词说说。今天就让我们继续在这神奇、好玩的数形王国里畅游，领略它更多的精彩吧！（板书：数与形）

师：瞧，对面走来一个很有意思的数学算式（课件出示： + + + + + + =）。仔细看看，它哪里有意思了？

学生观察（给学生充足的时间观察）。

师：小组同学相互交流一下，并填写好记录单“我们的发现”。

师：好，谁来说说你们组发现了什么？

生：全都是加法；这些分数有规律，分子都是1，分母都是2的倍数；后一个分数的分母是前一个分数的分母的2倍或者说前一个分数的分母是后一个分数的分母的 ；第一个分数是 。

师：还真是这样的，这是一串从 开始，以后的每一个分数的分母都是前一个分数分母的2倍的这样的分数单位连加的算式。（师板书： + + + + + + =）看到这个算式，你有什么想法或疑问吗？

生：哇，好多数啊！

生：怎样计算呢？

生：要通分吗？好麻烦。

生：通分太难了！肯定有简便算法的。

【设计意图：将教材中加数的个数由无限个变成有限个，降低思维的难度，为学生找到学习的最近发展区，激发学生的探究欲望。】

（二）寻求简便算法，感悟数学思想

1.寻求简便算法。

师：寻求简便算法是一条很好的思路。可是，目前我们没有这类题解题经验啊，如何找到这个方法呢？我国著名的数学家华罗庚先生曾经说过这么一个方法，不知道对同学们寻求方法有没有帮助——“我们要善于退，足够地退，退到原始而不失重要性的地方，退到我们容易看清问题的地方。”（课件出示）（生齐读。）

师：读懂意思了吗？你读懂了什么？

师：比如要计算这个算式，我们要退到什么地方比较合适呢？

生：两个数相加吧？然后每次再加一个数看看。

师：明白他的意思吗？谁再来具体地说说。（让生明确解题方法）

师：好，摸着石头过河，大家试试看吧。

生在练习纸上独立计算。

师：好，算完了的同学在小组内互相交流一下自己的方法。

指名上黑板计算，生小组交流。

师：好，我们一起来看看黑板上的这个过程。来，请你说说，你是怎样想的？

生：我先算 + = ，再用 + = ，我发现得数的分母和最后一个数的分母是一样的，得数的分子总是比分母少1，接着我又算了 + = ，说明这个规律是对的。根据这个规律，这个算式的结果就等于 。

师：同意吗？不仅勤于思考，而且表达得特别清楚，向你学习。还有什么疑问或补充的吗？

生：只要是符合这个算式特点的算式，这样加下去的话，结果的分母是最后一个加数的分母，分子总是比分母少1。

生：这些结果越来越接近1。

师：我能请教一个问题吗？ + = ，这个 实际上表示原来算式中几个加数的和？ 

师：哦，我明白了，你们是把这么多数相加逐步分拆成两个数相加，这样既方便计算，又便于寻找规律，真是一群会学习的孩子。

师：同学们，回顾一下，我们刚才是怎样解决这道题的？

生汇报。

师：是的，我们首先通过观察，发现了算式有特点，从而想到寻求简便算法。接着，我们在大师的引领下，智慧地退，退到最原始的两个数相加（课件演示），再勇敢地进，用每次计算的结果再和下一个分数相加（课件演示），找到了隐藏着的规律，巧妙地解决了这个数学问题。看来，当我们面临一个新问题的时候，寻求解决方法就特别重要。

【设计意图：从数学大师的名言中感悟思考，找寻解决之道。】

2.以“形”助“数”。

师：有同学提出像这样的分数不断加下去（板书：+…），总和会越来越接近1，有没有道理呢？

生：有道理。比如再加下去，就应该加 ，总和就是 ，以此类推，总和就越来越接近1。

师：无限地加下去，总和可能会大于1吗？为什么？

生：不可能，因为总和总是会比1小一个最后加数的分数单位。

师：同意吗?嗯，大家是根据计算来理解的，除了依靠计算来理解，其实我们还可以画图来帮助思考。先想想，你能用哪一个合适的“形”来表示这个加法算式的意思呢？

师：现在就请同学们用画图的方法在练习纸上试试，比比谁最快。

生独立画图思考。

师：谁愿意把你的方法和大家分享？

生：我是用一个圆表示“1”， 圆形的一半是 ，加 ，就是加这个圆形的一半的一半，再加上 ，也就是加剩下的一半，我发现，加到几分之一，得数就比“1”少几分之一。像这样继续加下去，空白部分就越来越小，几乎看不到了，如果一直加下去，涂色部分就会越来越接近1。

师：看，借助图形来说理，我们是不是就看得更清楚、理解得更明白了？还有谁用不同的形表示的？

生：我是用一条线段表示“1”，先把它平均分成两份，左边的就是线段的 ，剩下的部分我又平均分成两份，靠左的就是线段的 ，后面的线段都照这样的方法分别可以表示出线段的 、 、 、，越往后剩下的线段越短，最后就接近整条线段了，也就是接近1了。

师：除了圆、线段，还可以用别的“形”来表示“1”吗？

生：正方形、长方形。

师：虽然这些“形”各不相同，但说明的道理却是一样的。老师也画了两个形来表示，我们一起看看。（课件动态演示）

师：同学们，看，加的数越多，这个结果就（越接近1）。我们大胆地想象一下，如果像这样无限地加下去，结果会怎样?（离1无限近了。）是的，数学上把像这样无限接近1的数就认同等于1。瞧，这些“形”很生动地解释了这个有趣的结果！同学们，即使像这样比较抽象、比较复杂的问题，我们通过画图，解决起来也变得直观、容易了，画图的确是个好方法！

【设计意图：猜想、验证，经历用不同的形来解释相同的道理，学生在操作中观察，在观察中体会数形结合、极限的思想方法。】

（三）巩固练习，拓展延伸

师：同学们，学以致用，你能用今天所学的知识解决下列问题吗？

1.课件出示： + + + +…=（  ），并画图解释。

师：真好，同学们越来越快了，我们今天的这个方法巧妙吗？像这样的计算问题，借助图形思考就更容易了。下面，我们一起来看看这道题，借助图形是不是也变容易了呢？

2.课件出示教材P111-6：
小林、小强、小芳、小兵和小刚5 人进行象棋比赛，每2 人之间都要下一盘。小林已经下了4盘，小强下了3盘，小芳下了2 盘，小兵下了1 盘。请问：小刚一共下了几盘？分别和谁下的？

生独立解决后，指名汇报。

师：瞧，数形结合就是妙！借助几条小小的线段（课件演示），我们就轻而易举地解决了这个难题。

3.用“数”解“形”。

师：刚才我们以“形”助“数”，解释了一些有趣的问题。瞧，数形王国里又来了一个有趣的图形问题。我们一起去看看，它会给我们带来什么样的收获呢？

课件出示：图中正方形ABCD的面积是32平方厘米，中间各点均为中点，求阴影部分的面积。

师：这道题已知正方形ABCD的面积，怎样求阴影部分的面积呢？先独立地想一想，试一试，再和小组的同学交流交流。

小组交流活动。

生汇报。

师：好，哪个小组来说说，你们是怎样解决这个问题的？

生：因为中间各点均为中点，所以第二大的正方形的面积是最大的正方形面积的一半，也就是16平方厘米，同理，最小的正方形的面积就是8平方厘米，而这里面的两个同样大小的直角三角形的面积和是这个正方形面积的一半，也就是4平方厘米，而阴影部分的面积占剩下面积的3/4，所以就是3平方厘米。

师：听明白了吗？谁再来指着图形说说。

师：真好，大家用“数”来描述“形”的大小，发现了图形之间的密切联系，从而巧妙地解决了形的问题。
【设计意图：既有“以形助数”的练习，培养学生的应用意识，又有“以数解形”的拓展，开阔了学生的视野。】

（四）课堂总结

师：同学们，回头看看，我们今天解决了这么多复杂的数学问题，你觉得最应该感谢谁？

生：数形结合。

师：是啊，数形结合是这么地直观、美妙，让我们如此轻松地解决了这么多高难度的数学问题。难怪大数学家华罗庚也曾这般感叹：（课件出示）“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”

（生齐读）聪明的孩子们，你们会让数与形分家吗？在以后的学习生活中，我们还会领略到它更多的神奇！

    三、基于反思和研讨的第一次改进

    第一次教学尝试，自我感觉学生经历了观察、操作、归纳的学习过程，能借助“形”来直观感受与“数”的关系，能借助“形”解决“数”的问题，也知道了能用“数”来解决形的问题，对数形结合的思想方法有较深的体会。尽管练习部分比较顺畅，但整堂课用时依然长达近1个小时。整堂课感觉特别赶，给学生探索的时间不够充分，空间也不够大。

（一）聚焦的几个问题
1.在观察算式的特点时，应给予学生充足的时间观察。在汇报时，一定要注意是从 这个首要条件开始。

 
2.“以数解形”的例题太难，部分学生学习有困难，建议变中间的三角形为正方形，减小思维的难度，让学生充分地感悟数形结合的思想。
 
3.如何让学生体会“极限”的数学思想？只让学生感受到“无限接近1”行吗？

（二）我的思考

1. 究竟该教什么？

极限的思想要不要让学生充分体验？这个算式的结果等于1要不要教？“接近1”行吗？例2到底是以数形结合为唯一目标，还是借助数形来理解极限思想？是以解决方法为探究目标，还是以数形结合的价值为探究目标？“以数解形”需不需要补充？

2. 究竟该怎么教？

（1）如何引入？我是以谈话引入的，教材中是以例题的观察发现引入的，还有没有更富趣与智于一体的情境导入吗？

（2）学生的起点究竟在哪里？ 首次试教，借用了本年级的一个中等水平的班级的学生，基本上能按预设组织教学，但解释理由时需教师牵引。他们自学了例2吗？是处于简单的照搬模仿吗？还是他们真的已具备相应的能力吗？

（3）学生探究的空间到底有多大？如果不变课本上的无限个加数为有限个数，学生能探究吗？如果没有大师的方向性引领，学生能自己解决问题吗？以形助数能让学生较充分地体会极限的数学思想吗？如果能，又会到达哪种

程度呢？“以数解形”作为补充，意在让学生知道数也能解形，并不要求学生掌握其解决方法，能否改为微课教学？

 
 （4）黑板上只出现数，形是否应如影相随，以凸显两种数学思想？

   
（三）具体的改进思路

基于实践的经验和自己进一步的思考，结合同伴们的意见，我确定了4个非常基本而又重要的改进点：

1.还原例题，让学生面对真问题，自主寻求解决办法。

2.“以数解形”改为微课教学，用信息技术支撑课堂教学，既能达成课时目标，又能节省时间。

3.尽管极限的思想在部分学生那里是模糊的，但依然应尽可能地让学生理解这个算式结果的具体值就是1：在操作中充分感知结果“无限地接近1”，知道与“1”有关系，在想象中明确结果“不可能大于1”，在想象与推理中充分体会算式的具体值就是1。

4.将形搬到黑板上，让数形相伴，互为解释。

 下面是第一次改进后的教学片段。

 [教学片段]

1.揭示例题的真面目。

师：瞧，对面来了一个很有意思的数学算式（课件出示： + + + +  +…=），仔细看看，它哪里有意思了？（给学生充足的时间观察）把你的发现和小组的同学说说。

师：好，谁来说说你们组发现了什么？

生：全都是加法；这些分数有规律，分子都是1；分母是从2开始的，后一个分数的分母是前一个分数的分母的2倍/前一个分数的分母是后一个分数的分母的 ；像这样的分数有无数个。（从哪儿看出来的？）省略号就表示这个意思。（师相机板书： + + + +  +…=）

2.自主寻求解决办法。

师：寻求简便算法是一条很好的思路。想想，怎样计算这个算式呢？咱们小组内先商量商量。

师：你们都想到了哪些方法呢？

指名汇报小组内所找到的方法。

生：化繁为简找规律。

师：怎么个化繁为简找规律？

生：我们可以先算 + ，再用这个结果加 ，以此类推，观察结果可能会有规律。

师：听懂他的意思了吗？还有其他方法吗？

生：按运算顺序从左往右一步一步地算，再找规律。

生：画图。

生：可以拆成两个分数单位相减，再计算。比如 = - ， = - 。

师：你是想用咱们五年级所学的知识来试试，对吗？

师：同学们给出了这么多好的建议，这些方法到底行不行呢？咱们摸着石头过河，大家分组试试。

3.自主探究，数形结合。

（1）自主尝试。

（2）小组内交流。

（3）指名小组汇报，全班交流。

师：哪个小组来说说，你们是怎样解决的？其他同学可要认真看，仔细听哦。

生：我们组用了三种方法来解决。我先来说说我的方法。我是按运算顺序一步一步算，再找规律的。先算 + = ，再用 + = ，我发现得数的分母和最后一个数的分母是一样的，得数的分子总是比分母少1，接着我又算了 + = ，说明这个规律是对的。根据这个规律，这个算式的结果的分母是最后一个加数的分母，分子总是比分母少1。

师：你认为这个算式的结果就是——分子比分母小1的一个数，

同意吗？不仅会思考，而且表达得特别清楚，向你学习。对于这种方法，还有什么疑问或补充的吗？

生：那这个数到底是多少呢？

师：有具体的数值吗？

生：这样加下去的话，结果就越来越接近1。

师：有道理吗？请继续汇报。

生：我是用化繁为简找规律的方法，从两个数相加开始计算，再依次和下一个分数相加，我的过程是这样的，结果和他一样。

师：虽然两个过程书写的样子不同，但表示意思却是一样的，所以结果也是一样。同学们，你们有什么问题想采访他吗？

生：你为什么要写成这个样子？

生：不仅便于计算，书写起来也简单，而且更便于观察找规律。

师：你考虑得很周全，真是一个细心的孩子。

师：好，请你们组继续汇报。

生：我是用数形结合的方法解决的。看，我是用一个圆表示“1”， 圆形的一半是 ，加 ，就是加这个圆形的一半的一半，再加上 ，也就是加剩下的一半，我发现，加到几分之一，得数就比“1”少几分之一。像这样继续加下去，空白部分就越来越小，几乎看不到了，如果一直加下去，涂色部分就会越来越接近1。

生：我也是用数形结合的方法。我是用一个正方形表示的“1”。我发现剩下的空白越来越小，无限地加下去，空白部分就越来越接近0。所以我认为涂色部分的总和也就越来越接近1。

师：借助图形来思考，发现涂色部分越来越接近1，一个很有趣的结果。通过他们的图，你们也看到了吗？

师：同学们，其他组的同学还有想汇报或补充的吗？

生：我也是用数形结合的方法解决的。不过，我是用一条线段表示“1”的。看，先把它平均分成两份，左边的就是线段的 ，剩下的部分我又平均分成两份，靠左的就是线段的 ，后面的线段都照这样的方法分别可以表示出线

段的 、 、 、 ，越往后剩下的线段越短，最后就接近整条线段了，也就是接近1了。

师：同学们，根据他们的汇报，你有什么想法？

生：虽然他们画的“形”各不相同，但说明的道理却是一样的。

师：都说明了什么道理？

生：这个算式的总和接近1。

师：大家都觉得这个结果和1有关系，对吧？（板书：1）

生：我觉得画图比计算更容易看清楚结果越来越接近1。

师：是不是这样？形和数相比，形的方法是不是更直观？

师：同学们太厉害了，分别用计算和画图的方法发现了这个结果越来越接近1。

师：来，我们一起跟着屏幕回头看看，大家刚才是怎样解决的？我们先来看看计算方法。【课件演示】其实大家找到的这个方法，和我国著名的数学家华罗庚曾经说过的一个方法不谋而合。瞧，华老先生说：“我们要善于退，足够地退，退到原始而不失重要性的地方，退到我们容易看清问题的地方。”（课件出示）

师：对于这个算式，我们刚才退到什么地方呢？

生：两个数相加。（贴算式： + = ， + = ， + = ，…）

师：看看，两个数相加是不是这道题原始而不失重要性的地方，是不是我们容易看清问题的地方？同学们和华老先生真是心有灵犀一点通，想到一块去了，这不正说明咱们也有当数学家的潜能吗？同学们，以后当我们面临一

个新问题的时候，我们就可以像这样先退后进，化繁为简，寻找方法。

师：下面我们再来看看数形结合的方法。看，这里用谁表示“1”？看，加的数越多，这个结果就（越接近1）。如果无限地加下去，这个结果就会（无限地接近1）。到底有多接近1呢？请大家想象一下，我们继续加下去，红色部分慢慢地、慢慢地、慢慢地……怎样了？（占满整个圆了。）有可能大于1吗？为什么？

生：不可能，因为总和总是会比1小一个最后加数的分数单位。

生：因为加的那个数永远是剩下的一半，所以不可能大于1。

师：有道理吗?除了圆能表示1，线段、正方形、长方形等都可以表示1。来，我们再以线段为例看看，到底是不是像大家所说的一样呢？看，正如大家所说，我们加的下一个数就是剩下的一半，的确这个算式的和不可能大于1。加数越来越多，它们的总和也（越来越接近1），剩下的部分越来越少了。再加一个，红色部分更接近1了，再加一个，红色部分离1又近了，像这样无限地加下去，红色的线段就会（无限地接近1），到最后（占满整条线段），也就是（等于1）。 （板书：=） 

师：同学们，来，咱们再来找找这种感觉。看，这是老师准备的一个正方形，我们用它表示1，【贴正方形】。看，涂色部分表示什么意思？对，咱们继续涂下去，空白部分（越来越小了），继续涂下去，空白部分（更小了），继续无限地涂下去，空白部分（看不到了），如果咱们的笔更细一些，只要无限地涂下去，整个正方形（都变成红色的了），这说明了什么？

生：这个算式的和其实就是1。

生：那就是说无限地接近1其实也就是等于1。

师：是的，数学上把像这样无限接近1的数就认同等于1。瞧，借助图形来说理，原来这么抽象又不好解释的问题，我们是不是理解得更清楚、更明白了？这些“形”很生动地解释了这个有趣的结果！这可真是“数形结合百般好”。

4.微课学习“以数解形”。

师：下面，我们来看一段视频，它又会给我们带来什么样的收获呢？

播放微课视频。

课件出示：图中正方形ABCD的面积是32平方厘米，中间各点均为中点，求阴影部分的面积。

师：同学们，看明白了吗？老师是借助什么计算图形的面积的？

生：数。

师：是的，不仅形能助数，同样，数也能解形。数和形之间有着十分密切的联系，在一定条件下可以互相转化，互相渗透。今后，我们还会在初中、高中、大学及更高学段进一步学习，应用它们间的联系解决更多、更抽象、

更复杂的有关问题。

    四、再次反思研讨后的第二次改进

    第一次教学改进后，发现一节课承载的内容偏多。想删去“以数解形”的内容，又有些舍不得。因为有了这一内容，学生对数形结合的两种情况了解得更全面。但课堂时间是有限的，教研组长的一句“有所为有所不为”提醒了我，最终决定“忍痛割爱”，把这个内容移到练习课中。解决问题的策略权还给每一个学生，人人有不同层次的理解与发展。学生根据自己的能力灵活选择适合自己的方法，人人学到不同的数学。学生因需要而画图，而非老师要求而画图。课堂上，数与形相互辉映，相互解释。彼此绽放各自的芬芳，共同演绎着数学的魅力。

    但依然受时间的制约，因学生生成了“分数数列的裂项求和”的方法，如何引导学生用数形结合和极限的思想来理解算式的结果呢？课堂上解决，还是课后解决，谁更好？有了先前的实践和思考，在和同伴们交流后，我进行了第二次改进。此次，对于“分数数列的裂项求和”的这种方法的用形说理，则采用分层处理，与习题一同步呈现，让学生自主选择。

 
    五、多次教学改进后的体会与思考
    探究部分地改进主要是凸显数学思想与方法。数形结合的思想方法学生上节课已有充分的体验，而极限的思想对他们来说，真的是那种远在天际稍纵即逝的东西，说不清道不明。如何处理“极限”，我们在反复修改中尝试让学生去体会，通过算初步体会“无限接近1”，借助不同的形去观察、分析、想象，在想象中感受“无限接近”，从而积累了丰富的数学活动经验。记得张奠宙先生在《小学阶段如何处理“极限”？》一文中说:“至于一时说不清的，如极限概念，也只好定性地描述，不去过多地涉及。”因此，教学中我采用了这样的描述语言：“数学上把无限接近1的数就认同等于1。”

     “数与形例2”一课的研究和改进暂告段落，每一次改进都凝聚了团队的共同智慧，每一次改进都让我发现和审视自己的不足，每一次改进都促使我们更加关注教材和学生。

   
    改进无止境，且学且教且思且珍惜！