搭—拆—想，在系列活动中推进空间观念的培养

——“长方体的认识”教学实践与思考

 

    空间观念作为《义务教育数学课程标准（2011年版）》的十个核心概念之一，是小学数学教育的一个重要目标。在“图形与几何”这学习领域，认识长方体不仅是学生必须掌握的基础知识和基本技能，也是培养空间观念的重要载体。

    在教学实践中，如何将立体图形基本特征的探究与空间观念的渗透有机结合呢？下面，笔者以人教版《数学》五年级下册“长方体的认识”一课为例，谈谈对培养空间观念的体验与思考。

 

    一、课前思考

    对于长方体，学生并不陌生，按照小学数学教材“螺旋式上升”的编排方式，在第一、二学段均安排了有关长方体的学习内容。

    一年级，只要求学生“能通过实物和模型认长方体、正方体”，到了五年级，则要求学生“通过观察、操作，认识长方体、正方体”。从“辨认”到“认识”，体现出课程标准对于同一种立体图形的学习，在不同学段有着不同的目标定位。借助长方体，学生的思维将从二维转换到三维，从第一学段对立体图形表面特点的感性认识上升到第二学段对立体图形内部结构的理性认识。

    比较这一内容在不同版本教材中的呈现方式（图1），可以看出各版本教材都重视引导学生通过观察、数、度量等活动来认识构成长方体的元素——面、棱、顶点，并分别探究出这些元素的数量及特征。

 

 

    但无论是人教版提问式的引导，还是北师大版表格式的呈现，教材安排的认识活动多是显性层面的，关注到面与面、棱与棱这些单一元素之间的关系，而对于构成长方体的要素即面、棱、顶点三者之间的关系这一隐性层面的特征，体现得并不明显。

    从学情层面分析，前测（图2）反映出学生对“长方体有6个面、8个顶点”的显性特征，在以往的生活和学习经验中已经有了相对较好的感知和了解，但是对于“棱”，学生的认知经验还是存在一定的偏差。要数对“棱”的数量需要学生从长方体的构成和内部结构上去把握，而这恰恰是学生所欠缺的。

 

 

    基于课标解读、教材比较以及学情分，笔者认为，五年级“长方体的认识”应定位为从结构特点去认识一个三维立体图形的起始课。其学习目标不能仅限于从二维的“面”上认识长方体的构成元素，要让学生通过动手操作、猜想验证等学习活动深入到长方体的内部，从三维“体”的层面去探究长方体各元素之间的关系，发现长方体的内部结构及特征，让立体图形在学生的头脑中真正“立”起来，从而正确建立长方体的表象。

 

    二、课堂实施

    本节课主要采用搭—拆—想的系列化操作活动，引导学生经历对长方体的探究过程。

    1.“搭”中感悟，初建空间观念

    课始，通过谈话引导学生初步认识长方体的构成元素——面、棱、顶点，提出“搭”长方体模型的任务（图3）。学生第一次领材料后若搭建不成功，可以把没搭成的上交，重新领材料再搭，直至搭建成功为止。

 

 

    明确活动要求后，学生自主搭建。巡视过程中发现，的确有学生第一次未搭建成功，需要调整材料，重新搭建，教师顺势搜集了一些“不成功”的作品。

    经过尝试，学生都能成功搭建起长方体模型，借助自己搭建的模型，通过讨论、交流，顺利概括出长方体面、棱、顶点的特征。接着，教师展示一些“不成功”的作品（图4），提出新的“改装任务”。

 

 

    师：观察这些不成功的作品，运用刚才的研究成果，你能否试着改装一下，重新搭成一个长方体呢？

    生：（边说明边示范）第一个把上面横着放的2根绿色小棒换成2根蓝色的，然后竖着放1根黄色的，最后放1根绿色的，这样就搭成了。

    师：为什么要这样更换小棒呢？

    生：因为长方体相对的棱长度一样，每种颜色都是4根；刚才蓝色小棒只有2根，肯定不够，要增加2根；绿色小棒有5根，太多了，而且位置也放得不对；黄色的小棒少了1根。

    师：你真厉害！那么第二个，大家猜一猜，可能会搭成一个什么样的长方体？

    生：第二个再加上4根蓝的、2根黄的，就可以搭成两个面是正方形的长方体。

    师：是吗？请一个同学来验证一下吧。（指名学生上台操作）果然跟同学们想的一样！那么，绿色的小棒大家为什么不用呢？

    生：因为这个长方体有两个相对的面是正方形，所以有8条棱是相等的，只要两种颜色的小棒就可以了。

    【分析】本环节设计“用小棒来搭建长方体模型”的学习任务，学生分三个层次经历活动过程。第一层次：“尝试性”搭建，初步感知图形结构；第二层次：“调整性”搭建，深入探究图形特征；第三层次：“改造性”搭建，验证巩国图形认知。要顺利完成长方体的制作，学生需先从外部仔细观察长方体，思考顶点和棱的数量；第一次领材料后未必搭建成功，此时学生会根据已搭作品，尝试在头脑中自主想象出长方体的“模样”，随后再次领材料搭建、直至成功。这番由“不成功”到“成功”的体验让学生充分经历了观察—猜想—验证—建立图形的过程。活动的目标不仅限于“搭”，而是操作与思考相结合，让学生在“搭”中想、在“搭”中悟，积极探究、自主发现，深入理解长方体各元素的特征及相互之间的关系。

 

    2.“拆”中辨析，再建空间观念

    师：下面，我们要对这些长方体实施一个“破坏行动”！（图5）

 

 

    生：拆？

    师：对！如果把长方体的棱拆掉一些，你还能想象出它原来的样子吗？

    （教师依次拆去长方体的一条棱、两条棱，让学生演示如何还原）

    师：还能拆吗？

    生：还能。

    师：那最少保留几根就够了呢？请你自己也来拆一拆。

    （同桌合作，一人拆，一人试着“还原”，最后得出留下“三条棱”的结论）

    师：如果给你三条棱，是不是一定能够想象出长方体原来的样子呢？（学生意见不统一）

    师：不妨拿出三根小棒，试一试吧。

    （学生尝试验证）

    师：一起看屏幕上的这三条棱（图6左）能想象出什么？

 

 

    生：一个面。（图6右）

    师：那么，对应的长方体可能是什么样子的呢？请你动手比划一下。

    （学生纷纷比划，课件动态演示长方体的生成，如图7）

 

 

    师：为什么大家比划出的长方体不一样呢？

    生：因为不知道长方体的高度。

    师：看来，凭借这样三条棱，还不能确定一个长方体。那该怎么办呢？

    生：只要把一条棱竖起来就可以了。

    （个别学生迫不及待地动手示范起来）

    师:是啊，再看看我们刚才拆下来的三条棱（图8），这些棱有什么共同特点吗？

 

 

    生：都有一条棱是竖着的。

    生：都有高度了。

    师：继续观察，如果平移其中的一条棱（课件演示，形成图9），现在你又发现了什么？

 

 

    生：它们都构成了长方体的长、宽、高。

    生：它们都有一个共同的顶点。

    师（小结）：像这样，从一个顶点出发的三条棱（图10），就叫做长方体的——（长、宽、高），知道了长、宽、高，我们就能确定长方体有多大，有——（多高了）

 

    【分析】本环节尝试将静态的结论转化成动态的生成，引导学生通过“破坏”长方体来巧妙地解构图形。不破不立，“拆”是充分利用空间想象对立体图形做“减法”，把元素“减”得越少，学生对构成立体图形元素之间的关系就感悟得越深刻。

    提出“给你三条棱，是不是一定能够想象出长方体原来的样子”这一具有挑战性的问题，迫使学生思考能够唯一确定长方体的三条棱的位置关系。借助操作和想象，学生很快发现同一平面上的三条棱是不能唯一确定长方体的，三条棱应分别处于“三维”的空间中，且通过平移能相交于一个顶点。此时，学生对长方体的认识，不仅仅是图形外在的元素数量而是深入辨析出图形元素之间内含的空间位置关系。这样的“破”，实际上是把图形再一次“立”起来的过程，因为学生已经深入到图形的内部结构，在头脑中依靠想象重新“立”出了图形，“立”出了对几何概念的深刻理解。

 

    3.“想”中应用，形成空间观念

    课的最后，教师设计了一个“猜一猜”的练习，让学生按照如下的顺序进行空间想象：根据长、宽、高想象出完整的长方体；联系生活，猜想长方体对应的实物；按比例扩大长、宽、高，再次猜想对应的实物。

    师：根据这三条棱（图11），你能想象出长方体原来的样子吗？请试着把长方体画完整。

 

 

    （学生尝试在练习纸上画出长方体草图）

    师：来看这两位同学画的长方体（图12），他们都画对了吗？你有什么想法？

 

 

    生：都对，但我觉得第二幅更好，因为长方体里面的棱是看不见的，他用到了虚线。师:两位同学都把长方体补充完整了，第二位同学还巧妙地运用虚线画出了立体图形透视的效果，真是很厉害！你们知道吗？这个长方体可是咱们生活中常见的一件物品，你猜会是什么呢？

    生：橡皮。

    生：不是的，太小了，是铅笔盒。

    ……

    师：看来，这样漫无目的地猜，是很难猜准的！想一想，有什么东西可以帮助我们来猜呢？

    生：尺子！

    师：是啊，可以先用尺子量一量身边长方体的长、宽、高，再来猜。

    （学生测量后很快有了想法）

    生：我量过数学书了，数学书长是18厘米，宽是6毫米，高是25厘米。这个长方体比数学书要小，但比数学书厚，我猜是字典。

    师：（出示图13）猜得真准!以数学书作为参照，我们的猜测就更有方向了。

 

 

    师：还是这个长方体，现在它的长、宽、高发生了变化（图14），这又会是生活中的什么呢？

    生：高楼大厦！

    师：（出示图15）你怎么一下子就想出来了？

 

 

    生：因为它的高有130米，比我们的教学楼要高得多！

    师：对啊，这可是摩天大楼呢！同样形状的长方体，为什么猜出来的东西却是不一样的呢？

    生：因为它们的长、宽、高不一样。

    师：长、宽、高对于长方体而言非常重要。今天，我们研究了长方体的结构，认识了面、棱、顶点和它们之间的关系，以后还会继续测量长方体的长、宽、高，进一步从度量的角度来认识长方体。

    【分析】空间观念在本节课的落脚点主要体现在“根据物体特征抽象出几何图形，根据几何形想象出所描述的实际物体”这一方面，核心是建立关于长方体的表象。作为感性认识的高级形式，表象是在感觉和知觉的基础上具有一定概括性的感性形象，它无法单纯依靠背诵图形的特征自动建构起来，必须通过各种探究活动，让学生在充分感知的基础上慢慢形成。

    本节课的巩固环节一改传统的特征填空、概念判断等练习方式，设计了猜长方体实物的应用练习，引导学生走进现实世界，充分运用在探究活动中积累起的对图形结构和元素关系的认知经验，自主联系生活，实现图形与实物的转换。

    课堂上，学生需要不断地思考：长、宽、高各是多少？这个长方体看上去大概是什么样子的？有多大呢？……这些问题让学生的思维在一维的线、二维的面和三维的体中不断转換，从无根据地乱猜到测量实物以作参照，再到利用经验推理想象，空间知觉和空间想象交替使用，有关长方体的形象在学生头脑中渐渐丰满，图形的正确表象也随之慢慢建立起来。

 

    三、课后反思

    “长方体的认识”这节课足足上了五十分钟，但我和学生没有丝毫的疲惫感，似乎对“那么快就下课了”还感到有些遗憾。这种意犹未尽的感受让我非常享受，也促使我对课堂有了新的感悟。为什么这节课学生那么感兴趣?反思之后，我认为关键在于课的定位。笔者将这节课作为认识立体图形的起始课，因而课型的设计就是探究型的课堂教学，力图体现出“探”和“究”的特点。

    回顾整节课，从课始的搭建到课中的拆装，再到课尾的猜想，这一系列活动让教师和学生犹如一支“探险队”，不断探究着图形的结构和图形元素之间的关系，课上产生的一个个“为什么”“怎样改”“可以吗”就是探究中不断暴露的问题，引导学生在活动中观察、操作、验证，通过“试错”来反思、来想象，这便实现了对长方体“探”个“究”竟的学习目标。

    长方体对学生而言不再是冰冷的几何形体，而是存在于现实空间中可触摸、可变化、可操作，值得去深究的真实数学问题了！愿我们的课堂能再多一些探究的味道！

 

    参考文献

    略