摘要

    当前基本定型的“数学核心素养”的六项数学关键能力中，“数学运算”“逻辑推理”“直观想象”与1963年《全日制中学数学教学大纲（草案）》提出的三大能力基本相同，建议将“数学建模”、“数据分析”和本研究新增的“算法设计”合称为新三大能力。提出未来公民的应具备的数学核心素养，即“量化精准”的意识，“数据+算法”的思维，以及“数学文明”的信念，借以对未来数学课程作前瞻性探讨。

    关键词

    数学核心素养；算法设计；量化精准；数学智慧

 

    2016年以来，“核心素养”成为教育界关注的焦点。“数学核心素养”也备受瞩目，且目前已大体有定论，[1]即数学核心素养包含数学思维方式、数学关键能力以及通过数学活动进行人格养成等三部分。教师特别关注的“数学关键能力”则归纳为数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六方面（下文简称“六项关键能力”）。本文就此界定作一评述，从大数据和人工智能时代的需求出发，对未来数学课程提出前瞻性探讨，并对数学课程改革提一些具体建议。

 

    一、“数学核心素养”的界定反映了数十年来我国对数学教育目标的共识

 

    对数学能力的研究，是和我国各历史阶段的数学教学培养目标联系在一起的。历史上对“数学能力”最有代表性的提法，是1963年《全日制中学数学教学大纲（草案）》里所归纳的“三大能力”，即数学运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，我们不妨称之为“老三大能力”。它分别和六项关键能力中的“数学运算、逻辑推理、直观想象”相对应。对另外的“数学抽象”“数学建模”“数据分析”三项关键能力，不妨称之为“新三大能力”。

    仔细审视可发现，“数学抽象”和“数学建模”实际上是“数学地分析问题和解决问题的能力”的具体化，因而也是“拨乱反正”时期各教学大纲里本就有所强调的数学能力的一部分。20世纪的中国数学教育在“实践—理论—实践”的认识论指导下，对于将社会实践和生活实践中的数量关系抽象为数学理论，再用理论指导和应用于实践的解决问题的一般过程，也十分熟悉。

    这样一来，六项关键能力中，除“数据分析”是新提法外，其余各项都可在某种程度上看作是以往所提各项数学能力的整合。

    这样的做法是否好？很好，因为我们不能割断历史。将六项关键能力和历史上的数学教学大纲相衔接，在一定程度上体现了我国数学教育界多年研究成果的延续性，也可以说是反映了数学教育界同仁的共识，是一种合理选择。

    不过，“新三大能力”中，如果将过于一般化的“数学抽象”改作“算法设计”，也许更适合当前信息时代的要求。当然，我们一向认识到，“数学核心素养”除关键能力外，还有健全人格养成和思维品质提升的侧面。20世纪50年代，苏联加里宁的名言“数学是思维的体操”风靡中国大地。这句直白且生动的断言，将数学价值从实用层面提升到人的思维层面。与此同时，在数学学科教育上，也有一些更加具体的论述，其大体上可以归纳为以下三点：由数学的精确性养成“严肃认真”的工作态度；由数学的严谨性培育“一丝不苟”的思维品质；由数学的抽象难懂锤炼“勇敢上进”的性格意志。

    实际上，增强数学学科的育人功能，重要的不在于如何作理论陈述，而在于长期实践经验的积累。只要认真地进行大量案例的筛选，并使之进入课程标准，推广使用，就会“润物细无声”地发展为一种可持续发展的数学教育传统。但这方面的工作目前还较为薄弱，在各种数学教育研究项目上、媒体报道中、日常议事日程里，都难觅其踪影。

    20世纪90年代，“数学教育高级研讨班”曾有两届的主题涉及数学学科的德育价值与功能。笔者曾将与会者的建议归纳为一个“六层次德育框架”[2]。具体为：

    一个基点：热爱数学。

    三个维度：数学科学的理性素养；数学文化中的人文精神；数学内涵中的思维品质。

    六个层次（按照与课堂教学由近及远的安排）：

    第一层次：数学本身的文化内涵——以优秀的数学文化感染学生；

    第二层次：数学内容的美学价值——以特有的数学美陶冶学生；

    第三层次：数学课题的历史背景——以真实的数学发展历程激励学生；

    第四层次：数学体系的辨证因素——以科学的数学观指导学生；

    第五层次：数学周围的现实情景——以智慧的数学模型鼓舞学生；

    第六层次：数学教学的课堂环境——以优良的课堂文化塑造学生。

    21世纪的基础教育数学课程改革，提倡三维目标，即“知识与技能”、“过程与方法”和“情感态度与价值观”，应该说对数学教育目标的认识更加全面，更为深刻。而以上的六层次数学德育框架设计，是与数学课程的三维目标相契合的，并更加突出数学对学生思想以及精神层面的重要影响。在《数学学科德育——新案例·新视角》中配有许多案例加以说明。这里试举“数学学科德育”的一个具体例子。[3]

    “一条船上，有75头牛，32头羊，问船长几岁？”这是一道不能回答的数学题。但在不同年级的测试中，都有学生做减法，答案是43岁。追问之下，每个学生都怀疑过此题不能做，但都没有坚持正确的做法，而是附会“老师出的数学题都是有答案”的习惯，硬给了一个答案。这是学生缺乏独立思考精神的表现，值得警示。

    可以设想，如果我们有成百上千个可操作的教学案例，那么，在数学教学中体现“立德树人”功能，就不只是一句空话了。

 

    二、未来社会公民核心素养对数学提出了新要求

 

    现代公民素养，包括人文素养、语言素养、科学素养（包括数学素养）、艺术素养等。数学教育，则直接为人的数学思维和数学行为等的养成服务。数学核心素养，并非数学能力的总和，而是数学能力的人性升华，或者说是数学能力的灵魂所在。

    前文“数学核心素养”的提出，更多着力于现行数学课程的自我分析，局限于眼下的认识。若要进一步分析，则需要和“核心素养”的信念、思维及语言等心理层面相联系。若能在数学学科上位探索会有哪些新的“核心素养”可能受到关注，从而在此基础上对今后的数学教育提出前瞻性的改革方向，则是时代赋予我们的更为重要的任务。

    未来社会公民与数学有关的核心素养，与今天恐怕会有很大不同。“互联网+”、大数据、人工智能的巨大发展，将给人类生活带来全新变革。未来的人，将面对大量的人工智能产品，其工作无非是量化精准地解决问题。人与机器打交道，需要一种新的数学思维、新的数学语言和新的数学鉴赏能力。

    （一）形成“量化精准”的意识

    可以预料，“量化精准”将是未来数学课程需要强化的关键意识。未来社会充满着各色各样的精准需求，太空飞行器的精准对接、军事的精准打击、位置测量的精准坐标、人脸图像的精准识别、信息的精准传输、无人驾驶的精准操作等，都需要人们去关注、学习、理解、操作。Alpha Go“碾压”众多当今世界一流棋手，在一定程度上表明人工智能的精准决策已超越了人类自身。当今的社会环境，人们不再是到商店买卖商品所需要的那点数学知识了。当医疗讲求对病人的“精准治疗”，教育上追求对不同学生的“精准施教”，个人的衣着都要精准测量个性定做时，精准思维就会影响人们的日常生活。因而人们需要懂得“精准”，运用“精准”，欣赏“精准”。

    数学的精准，是量化的精准。其中包括“计算精准”、“逻辑精准”、“数据精准”以及“解决问题的策略精准”等方面。数学是最讲精准的学问，议论数量化精准很早就开始了。早在20世纪初，胡适先生就有“差不多先生传”问世，讽刺那些不讲精确性的“差不多”意识。量化精准意识，是老三大能力的概括、拓展与升华。计算要准确，逻辑要严密，直观想象要清晰，都是“量化精准”的题中应有之义。反过来，量化精准又会对未来的数学课程产生重大影响。“量化精准”有许多不同的种类。如，概率意义下的精准，模糊条件下的精准；量化的智能性往往是通过目标函数来体现，许多约束条件归结为一组不等式，最后的决策也许就是某个方程的解。这就是说，未来社会公民要在数学课程学习中，逐步形成量化精准的意识。精准是一种数学眼光，精准意识使得人的思维比较有条理，工作态度一丝不苟，解决问题严谨、有效。

    （二）掌握“数据+算法”的思维模式

    如果说“量化精准”还只是一种意识，那么，掌握“数据+算法”的科学语言，则是未来公民享受大数据信息时代文明的基础思维模式。

    古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”。在即将到来的大数据时代，则是“万物皆数据”。数据成为一种生产资料，大计算则是生产力，而互联网是生产关系。这就是说，用算法加工数据就是一种“生产”和“制造”。事实上，大数据如果没有好的算法，就是一潭死水，挖掘不出“精矿”。人工智能的本质就是为了达到某种目的而实行的一种算法。如，投入实际运行的人脸识别机器人，到目前为止，并非如同人脑一样是筛选决策的，而是通过严密的算法计算出结果的。

    未来社会将使用大量机器人辅助工作，人在管理机器人时主要运用基于各种算法的高级算法语言。未来社会的就业岗位，算法要求会是一项必需的、基本的要求，这是不以人的意志为转移的发展趋势。数学教育作为基础教育的一部分，不可避免地将受到其深刻影响。

    容易想到，“数据+算法”思维是和“新三大能力”联系在一起的。这里，笔者建议把“数据处理”、“数学建模”以及“算法设计”作为新三大能力，用“算法设计”取代“数学抽象”。取代的理由是，一方面，数学抽象的意义较为宽泛，与其他关键能力多有重复。如，逻辑推理是纯粹的形式化思维模式，完全是抽象地进行的，尤其是“数学建模”更是将现实世界的情景抽象为量化的数学模式，和“数学抽象”高度重叠。

    另一方面，“算法设计”较“数学抽象”更加贴近信息时代的社会需求。如果说“老三大能力”与工业化时代相适应，那么“新三大能力”更多的是与信息化时代相匹配。智能机器人是利用算法解决问题，而问题则是用抽象的数学语言表达的数学模型，以离散的数据呈现在机器中。这就是说，“新三大能力”中的“数据处理”和“数学建模”两项关键能力就是为人工智能而准备的，那么解决问题和处理数据的“算法”能力也就立在其中了。

    吴文俊先生一再指出，中国古代数学以“算法”见长。《九章算术》的算法体系与《几何原本》的公理化体系相互辉映，形成了东西方两个不同的数学高峰。因此，中国的数学课程既要继承中国古代数学的算法传统，又要符合信息时代“算法”的普适要求。总而言之，数学不能离开算法，算法应是贯穿于数学课程始终的主线。

    教育界一个长期争论的问题是“算法”应归于数学课程还是信息技术课程。事实上，数学算法与计算机算法相互独立又相互依存。数学算法是学生从小学就开始学习的知识，先乘除后加减，就是一种简单的算法；解一元二次方程的公式法，解联立方程的消去法，也都属于算法。可以预料，伴随信息时代的迅猛发展和人工智能的不断进步，类似计算、误差、逼近、迭代、收敛等概念将会愈加受到重视。而我们所讨论的计算机课程中的算法，其背后的基础依然是数学，至于依赖于各种机器的特殊语言系统，那是属于信息技术。数学算法和计算机算法的整合是当前和今后一个时期需要长期关注的研究课题。

    大数据时代的“数据+算法”思维模式正向我们走来。据《环球时报》2017年10月13日的报道，清华大学附属小学六年级学生利用大数据的排序算法，对苏轼诗词中的用词和用字频率进行数据分析，得出了许多规律性的认识。学生的研究报告发表在班级建立的公众号上，获得百万以上的点击量，引起社会较大反响。不妨认为，这是大数据时代“数据+算法”思维模式的一个预示性的缩影。算法，会如同方程、函数、级数、概率一样，成为数学课程的基础乃是必然的发展趋势。

    （三）树立“数学智慧”的文明信念

    在充斥着人工智能的未来社会中，人的精神价值将得到充分体现。人工智能和机器人的迅速发展，会使人的劳动负担减轻，空闲时间增多，人的自身价值将得到进一步提高与升华。正如汽车、飞机跑得比人快，但人们还买票去看百米飞人大赛；足球比赛的电视直播再精彩，也阻挡不了人们购票去现场的诱惑。无论人工智能的智慧化水平怎样提升，也抵挡不住数学智慧给人类带来的魅力。

    今后的教育要多教琴棋书画，意思是未来人们会更多地享受由人类所创造的各种精神文明。显然，这其中也包括数学文明。也就是说，未来的社会公民将能够欣赏数学智慧之美，就像今天人们欣赏琴棋书画一样。数学是充满理性精神，高度简约的，数学是辩证的、动态发展的、富有创新思想的。数学是一种普适的技术，更是一种普适的科学、一种普适的文化。数学是人类文明发展到一定阶段的产物，并深刻而全面地影响着人类文明的不断发展。

    人工智能和机器人的迅速发展会使人的劳动负担大大减轻，闲暇时间不断增加，精神更加自由。这时，人们就可以根据自己的兴趣学其所好，必然会有更多的人被数学的理性之美所折服，从而进一步学习数学、享受数学、研究数学，进而创造数学等。

    当前，我们耳熟能详的体现数学智慧的故事已经不少。如，赵爽的弦图，河图洛书的幻方，高斯求“1+2+…+100”时首尾相加方法的智慧等，都让人感觉美不胜收。但人们对数学之美的欣赏还有巨大空间，中华文化与数学意境的沟通还有许多工作要做。

    如，数学中的存在性命题，用中国古诗词描写就是“只在此山中，云深不知处”；愚公移山的故事，与数学归纳法在逻辑上是等价的；“曹冲称象”的故事所体现的转化思想与等量替换的思想、“田忌赛马”所体现出的优化组合思想、陈省身在20世纪40年代研究的纤维丛数学理论，竟然成为20年后杨振宁提出的规范场论的数学工具，实现了20世纪一次伟大的科学会师。诸如此类的故事还有很多，需要数学教育研究者以及一线数学教师不断去挖掘、阐释。

 

    三、对未来数学教育走向的前瞻

 

    综上所述，在未来的“大数据—互联网—人工智能”的信息时代，一个社会公民要有量化精准的意识、数据算法语言的思维模式，以及数学智慧的文化理念。我国的基础教育数学课程必然要为之服务，进行适当的调整、倾斜与更新。具体来说，应关注以下几点。

    首先，伴随时代发展，数学课程还会有很大变化，要有变化的思想准备。回顾辛亥革命以来的100年，数学课程内容不断调整，与时俱进地增加了许多内容，也删减了部分内容。以笔者个人于1938年入小学以来的经历来看，旧时复杂的算术应用题逐渐被淘汰，平面几何中繁难偏旧的题目已不见；笔者当时能熟练证明的“九点圆”“西姆逊线”，1949年后已远离中小学数学课程；曾占据解析几何一大半的平面曲线（蔓叶线、蚌线、旋轮线等）也被移出数学教学大纲；早年高中数学的顶端是三次、四次方程和高次方程式论，1949年后也不得不离开讲台。代之而起的则是函数概念居于核心地位，直至以研究函数为目标的微积分进入高中数学；几经折冲，向量终于进入几何学；至于研究数据的概率论与数理统计更是大踏步地成为一个单独的学习领域。几十年的功夫，中小学数学课程已经大变脸。

    在“大数据—互联网—人工智能”的环境下，以“数据处理+数学模型+算法”为核心数学素养的数学课程，必将获得迅速发展。尽管基础教育课程不会像商业逐利行为那样敏感地变化，却也应该未雨绸缪，做好变革的思想准备。

    其次，适度超前的新数学课程应当优先立项研究并长期实验。俗话说，“人无远虑必有近忧”；“凡事预则立，不预则废”。我国现行只有一套全国统一的《数学课程标准》，以及与之相对应的若干种教科书。至于“不同的人学习不同的数学”则始终是一句空话。拔尖人才的发现与培养，与“教育公平”并非水火不容。教育公平是指受教育的机会平等，但天性禀赋并非人人相同，而是不均衡地分布。英才难得，需要爱护。为数学优秀生提供更高水平的教科书，是社会主义教育的题中应有之义。这里，呈现一份俄罗斯小学数学教材的片段，以供思考我国未来数学教科书的努力之所在。

    俄罗斯的一套小学数学教材在一年级就引入了方程的概念，并在以后各册不断地将算术问题归结为解方程[4]，图1是一年级第一册加法的一页。

 

    可以看到，小学一年级就引入方程和解方程的内容，是比较大胆的改革。仔细观察，还可以看到加法交换律、注意验证解答的正确性等内容。至于用符号代表数，根本不作为特定的知识学习，直接付之于实践，做一做，就明白了。该教材的加法是从集合的并集开始的，这时数字还没有出现。更值得注意的是，加号（+）和减号（-）是同时出现的。这些大胆的改革，几乎颠覆了我们对小学数学教材编写的认识。我国21世纪开始的课程改革，大多把注意力集中于教学方法的变革，对于数学内部的体系改革琢磨不多。以上俄罗斯小学一年级的数学教材在数学内容以及呈现方式方面的一些“大胆改革”值得我们深入研究和积极借鉴。

    再次，中国数学教育以打好基础为主要特色，而何谓“基础”，需要大力界定、研究与坚持。无论时代如何进步，人从降生开始的学习生涯是从零开始的。一个适合新时代的“数学基础”是变动着的，又是要固守的，需要精心处理，不可马虎。

    20世纪50年代以来，随着计算机问世，人类社会进入信息时代，国际上的数学教育呈现了几次起伏。以美国的数学教育改革为例，先是1958年开始的“新数学运动”，把“群、环、域”等数学结构纳入小学数学教学，小学生跳过“十进位”要学“二进位”，把“基础”弄丢了，因而在20世纪70年代提出“回到基础”。后来又提倡“问题解决”，以为会解决问题就可以超越基础。但种种迹象表明，“问题解决”并未能从根本上解决其数学教育中存在的问题。

    以前人们普遍认为有了电子计算器，人的计算能力不重要了，这其实是大错特错。无论是欧美流行的教育理论，还是杜威的实用主义，总是强调学生学习数学必须有兴趣，数学概念必须有现实背景等。这样一来，“九九表”不会背，分数不会相加，幂与指数分不清，几何题不会做，要“解决问题”，岂非空中楼阁？美国出现的所谓“数学战争”，一定程度上可看成是针对不会背“九九表”、不会做分数加减、不会做多位数的乘除法而展开的争论。而后美国进行的“课程焦点”、破除“数学教育神话”、制定“数学课程共同核心标准”，某种程度而言，都是基于打好基础的目的。

    总之，在与时俱进地削减现有数学课程内容的同时，仍要固守人类数学认知的基本功，在坚实的基础上谋求发展，这是中国数学教育成功的根本原因之一，值得永远珍视、传承和发扬。

 

    [注释]

    [1] 孔凡哲，史宁中.中国学生发展的数学核心素养概念界定及养成途径[J].教育科学研究，2017，（6）.

    [2][3] 张奠宙，马岷兴，陈双双，等.数学学科德育——新视角·新案例[M].北京：高等教育出版社，2007.

    [4] 张奠宙，倪明，唐彩斌.面向未来，大胆创新——一套俄罗斯小学数学教材引发的谈话[J].小学数学教师，2017，（Z1）.