前面的估算（一）说到了估算及其价值。这里谈谈误差、计算复杂性与估算的评价。

    常有老师问这样的问题：XX题目，可以这样估算吗？
    比如：

 
    这就涉及到对估算的评价的问题。
    简单地说，评价估算，主要不是用“对”与“不对”来评价，而是以“好”与“不好”来评价。
    评价一个估算好还是不好，通常有两个维度。一个维度叫计算复杂程度，另一个维度的精确程度。

    这里说说精确程度，精确程度就是误差大小。误差有多种，慢慢说来：

    用数学解决实际问题，通常要对实际问题进行简化，进行抽象，简化与抽象后的问题，总是对实际问题的近似。
    比如要解决从甲地到乙地要多长时间的问题，就得知道速度，知道路程。速度通常不会是均匀的，但为了处理方便，我们当匀速处理，这就是近似。近似就产生了误差。这类误差通常叫做模型误差。是说把实际问题抽象成数学模型后带来的误差。
    另一类误差叫观测误差或量测误差。指解决问题过程中，总要测量一些量，比如长度，时间，温度等，测量的过程难免产生误差，由测量而生产的误差就叫观测误差或量测误差。
    从产生的原因上说，以上两类误差与计算无关，也就与我们今天的主题无关，放到这里，只是想保持关于误差的讨论的完整性。

    与计算有关的误差通常有两类，一类叫“截断误差”，稍稍有点复杂，通常指用无穷级数的有限项来代替这个无穷极数而产生的误差（截断嘛，就是砍尾巴，就是把后面一截不要了）。
    比如正弦函数sin(x),可以用一长串（长到无限）x指数形式来表示（有点象多项式，只是项数无限，多项式的计算比别的函数来得机械，简单，所以数学中有一个学问，研究如何把复杂的函数表示成象多项式的东东），当x很小时，大体上可以用把表示sin(x)的无限多项的“多项式”后面的项都去掉，只留下第一项，这一项是x，即用x表示sin(x)，由此带来的误差就称为截断误差。

    您如果不太熟悉这个，不要紧，下面这个我们就好懂了。
    这个好懂的误差叫凑整误差，也叫舍入误差。
    我们在计算时，把无理数（如圆周率）按有限小数（如3.14）算，把无限循环小数当有限小数处理，把非整十、整百、整千数当整十、整百、整千数算，这个过程带来的误差，就是凑整误差。它的另一个说法，我们也很熟悉，叫“舍入误差”。

    定量的说，误差就是近似值与准确值的差。有时候也称绝对误差。当然，这个差可正可负，也就是近似值可能偏大，也可能偏小。偏大的称作强近似值，偏小的自然叫弱近似值。

    误差是客观存在的，但要知道误差到底是多大，往往是个麻烦事。因为要知道误差的值，就要知道准确值。可恰恰是不知道准确值才要估算的！您看到这里的问题了吗？

    正因为要准确的搞清楚误差是困难的（准确的误差搞清楚了，就意味着准确值得到了，也就意味着估算被取消了，是不是有点哲学？），所以估计一下误差的范围（估计！又来了！！）是很重要的。这个范围叫误差限。就是误差的绝对值的上限（您一定可能理解，为什么取绝对值，而不直接取误差本身）。有了误差限，我们就可以知道准确值的范围。
    比如我们估算到一个结果为100，研究准定误差限为10，那么准确值就在990和1010之间。这个其实我们很熟悉：四舍五入到哪一位，就是控制误差限。
    我们还有这样的题：一个三位小数，四舍五入保留两位小数的结果是3.25，这个数最大是多少，最小是多少。在这个问题中，我们就是要通过近似值与误差限来确定准确值的范围。

    关于误差，最后啰嗦一句：两个估算，误差限同样是10，但有一个的准确值是10，另一个的准确值是100000，你肯定知道，第一个估算的精确程度没有第二个好。因此，绝对误差有时候不能刻画一个估算的精确程度，于是有了相对误差，就是绝对误差与准确值的比。

    终于可以来说说估算的评价标准了。误差肯定是一个方面，但也不能只看误差，因为如果只看误差的话，那就是“精算”最好！（精算有专门的意义，还有精算这个专业、有精算师呢！精算师是世界级的牛人，这里借用这个词，意义大家都懂）。
    除了误差，还要考虑计算的复杂程度（定量刻画计算的复杂性有专门的学问，我们这里说不了，只能有个大体的定性把握）。

    我们画一个坐标，把精确程度和计算复杂性两个维度表示出来：

    我们来分析A、B、C、D四个区域。
    B区域表示计算的复杂性高，但精确程度低，显然是糟糕的估算。我们都不太好意思作出这样的估算。
    C区域表示计算的复杂性低，但精确程度高，显然是非常好的估算。但这种马儿跑马儿不吃草的事，很难得。
    A区域表示计算的复杂性低，但精确程度也低（粗略的估一估，快则快矣，奈何准确程度低）。
    D区域表示计算的复杂性高，但精确程度也高（趋于精算）。

    我们的估算，通常就是在A到D的这个范围内找个合适的平衡位置，如果能偏向C就比较好一些，偏向B就比较差一些。
 
    好了，今天讲得够多的了，也许还没涉及您关心的具体问题。明天继续……

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